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三角関数表のタンジェントの表におけるtan342°|マクローリン展開で解く

それでは、tan 342° = -0.32492…を計算する手法について解き明かしていきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は求まります。
一方で、上記以外の数字であるθ=1°だとタンジェントの計算が非常に大変です

そのため、tan 342° = -0.32492…になる理由を説明します。

10桁のtan 342°を確認

初めに、tan 342°を10桁確認してみましょう!$$\tan 342° = -0.3249196963\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 342° = -0.32492…を解く

tan 342° = -0.32492…を求めるためにマクローリン展開を利用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 342°=5.969026…$$ $$\sin 342° = -0.309017…$$
$$\cos 342° = 0.951056…$$

サインとコサインを使って$\tan 342° = \displaystyle \frac{\sin 342°}{\cos 342°}$からtanを求めることができます。

$$\tan 342° = -0.32492…$$

120秒で振り返るtan 342°

本記事で解説した内容を120秒で確認できる動画を準備しました。よかったら、参考にしてください!

(誠意作成中)

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