三角関数表のタンジェント表におけるtan45°を導出する

それでは、tan 45° = 0.999999…を求める方法について共有します。

θ30°45°60°90°
y0\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)1\(\sqrt{3}\)

表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が求まります。
しかし、中途半端なθ=1°だとタンジェントの計算が困難です。

本記事では、tan 45° = 0.999999…を計算する方法を解説します。

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tan 45° を10桁調べる

初めに、tan 45°を10桁表してみましょう!$$\tan 45° = 0.9999999999\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 45° = 0.999999…を明らかにする

tan 45° = 0.999999…を求めるためにマクローリン展開を活用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入して計算するとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 45°=0.785398…$$ $$\sin 45° = 0.707106…$$
$$\cos 45° = 0.707106…$$

これを利用して、$\tan 45° = \displaystyle \frac{\sin 45°}{\cos 45°}$からtanを求められます。

$$\tan 45° = 0.999999…$$

tan 45°を復習できる動画

このページで解説した内容を120秒で振り返ることができる動画を準備しました。

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