今回のテーマは高校数学の整式の整理です。
解説する内容は大きく３つ。
整式の整理は3STEPで実施します。
同類項をまとめて、次数を確認して、降べきの順に並べるという３ステップです。
降べきの順で文字が２つの場合、文字が３つの場合も解説します。
上記３STEPを１つずつわかりやすく解説していますので、よかったら最後まで読んでいってください。
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同類項をまとめる
分配法則を利用して整式の同類項をまとめましょう。
例題を通して解説しますね！
【例】次の多項式の同類項をまとめよ。
\(4x^2-5x+2-2x^2+3x-9\)
先に答えを書くと、
\(2x^2-2x-7\)となります。
計算式は下記の通りです。
\begin{eqnarray}
& &4x^2-5x+2-2x^2+3x-9\\
&=& 4x^2-2x^2-5x+3x+2-9 \\
&=& (4-2)x^2+(-5+3)x+(2-9)\\
&=&2x^2-2x-7 \end{eqnarray}
それでは、この答えを求めていきましょう！
多項式と同類項
整式に項が２つ以上ある場合、その整式を多項式と言います。
反対に項が１つしかない整式は、単項式と言います。
多項式の中でも文字の部分が同じ項を同類項と言います。
例題で同類項を確認してみましょう！
$$4x^2-5x+2-2x^2+3x-9$$
今回の例題の場合、文字の種類は『\(x^2,\ x,\ \)文字なし』の3種類です。
文字が同じ項が同類項なので、集めると下記のようになります。
\((4x^2,\ -2x^2)\)と\((-5x,\ 3x)\)と\((2,\ -9)\)の3種類になります。
これら同類項を集めたら、次は分配法則で同類項をまとめて係数を計算します。
分配法則で係数を計算する
今回使用する分配法則は下記の式です。
$$ax+bx=(a+b)x$$
上記の式だと、文字が\(x\)の同類項の係数（\(a+b\)）を計算できます。
例題を使って実際にやってみましょう！
$$4x^2-5x+2-2x^2+3x-9$$
の場合、\(4x^2,\ -2x^2\)と\(-5x,\ 3x\)と\(2,\ -9\)の3種類の同類項があると上記で解説しました。
これらを分配法則で括って係数を求めましょう。
\(x^2\)の項の係数
分配法則を使うと\(4x^2,\ -2x^2\)の係数は下記の通り計算できます。
\(4x^2-2x^2=(4-2)x^2=2x^2\)
このように\(x^2\)の項の係数は\(2\)とわかりました。
同様に\(x\)の項と文字なし（数字のみ）の項の係数も計算していきましょう。
\(x\)の項の係数
分配法則で\(-5x,\ 3x\)の係数を求めると下記の通り計算できます。
\(-5x+3x=(-5+3)x=-2x\)
\(x\)の係数は\(-2\)と分かりました。
最後に文字なしの項を計算します。
文字なしの項の係数
文字なしの項は\(2,\ -9\)です。
こちらは文字がないので分配法則を使用しないで計算できます。
\(2-9=-7\)となります。
係数と文字で同類項をまとめる
例題は下記の式でした。
$$4x^2-5x+2-2x^2+3x-9$$
計算すると、下記のようになります。
\begin{eqnarray}
& &4x^2-5x+2-2x^2+3x-9\\
&=& 4x^2-2x^2-5x+3x+2-9 \\
&=& (4-2)x^2+(-5+3)x+(2-9)\\
&=&2x^2-2x-7 \end{eqnarray}
以上が整式の整理の『同類項をまとめる』になります。
次に、整式の整理の『降べきの順』を解説するのですが、降べきの順に必要な『次数』という考え方を先に解説します！
整式の次数
整式の次数は『次数が最も高い項の次数』となります。
こちらも例題を通して確認していきましょう！
【例題】次の式の次数を求めよ。
\(6a^4-2a^3+4a^2+3\)
この式の各項を見てみましょう。
$$6a^4,\ -2a^3,\ 4a^2,\ a,\ 3$$
上記５つの項からできている整式です。
次数は各項が持っている文字の数なので、上記５つの項の次数はそれぞれ左から下記の通りです。
$$4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0$$
一番大きい次数は『項：\(6a^4\)の次数：\(4\)』です。
つまり、整式の次数は\(4\)となります。
もう一問解いてみましょう。
【例題】\(4b^3-a^2b^2+4-2a^3b^2\)の次数を答えよ。
この場合だと４つの項に分けることができます。
$$4b^3,\ a^2b^2,\ 4,\ 2a^3b^2$$
上記４つの項です。
それぞれの項の次数は左から下記の通りです。
$$3,\ 4,\ 0,\ 5$$
一番大き次数は\(5\)ですから、
\(4b^3-a^2b^2+4-2a^3b^2\)の次数は\(5\)だと分かります。
次数の求め方は各項の文字の数ですが、よく分からない方は下記の記事がおすすめです。
参考にされてください！
>>単項式の計算｜次数と係数の解説<<
降べきの順
最後に整式の整理の降べきの順について解説していきます。
降べきの順を簡単に説明すると、『次数が高い順に項を並び替える』です。
こちらも例題を通して理解しましょう！
【例題】\(3a^2-9a^3+4a+3a^4\)を降べきの順に並び替えよ
例題の整式では、それぞれの項の次数は左から下記の通りになります。
$$2,\ 3,\ 1,\ 4$$
この次数が高い順に項を並び替えるのが降べきの順です。
実際に並び替えてみましょう。
$$3a^4-9a^3+3a^2+4a$$
上記の式になります。
降べきの順は一目で整式がどんな式かわかるように並べ替えていますので、自然と降べきの順を使えるようになると計算ミスが減って便利です。
では文字が２つある場合や３つある場合の降べきの順をみていきましょう。
降べきの順｜文字が２つ
例えば下記の式を降べきの順にするとどうなるでしょう。
$$2bc-3ab+8ca$$
各項の次数を見ると全て\(2\)です。
では、どう並び替えるのか？
答えは『アルファベット順』にするです。
上記の式でいくと、各項の文字は
$$bc,\ ab,\ ca$$
の3種類ですね。
アルファベット順に並べると、
$$ab,\ bc,\ ca$$
となります。
例題の答えは、
$$-3ab+2bc+8ca$$
となります。
降べきの順｜文字が３つ
整式の中に次数が同じで、文字が３つある項があった場合もアルファベット順で並び替えます。
【例題】\(2x^2y+3xyz-4y^3\)を降べきの順に並び替えよ。
この場合だと、各項の次数は全て\(3\)です。
一方でアルファベット順に直すと、\(x^2y,\ xyz,\ y^3\)の順番になります。
以上より、例題の答えは下記の通りです。
$$2x^2y+3xyz-4y^3$$
整式の整理は数学の基礎知識であると同時に、計算ミスを防ぐための重要なテクニックです。
理解できなかったところは何度も読んで確認しましょう！
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今回は以上です！
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