【数学I】単項式の計算|次数と係数、乗法と除法を解説【博士監修】

単項式の次数と係数について解説します!
具体的には下記の内容になります。

解説する内容!
  1. 単項式とは|次数と係数
  2. 単項式の乗法
  3. 単項式の除法

単項式がわからない。
次数と係数の違いがわからない。
そもそも数学が苦手。

そんな方には必見の記事になります!

トムソン
トムソン

九州大学 工学博士で物理学者の僕が解説します!
一緒に学んでいきましょう👍
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単項式とは|次数と係数

単項式と次数と係数について詳しく見ていきましょう!

単項式とは

単項式とは
数や文字、および、それらを掛けただけで作られる式のことです。

例えば下記のような式が単項式です。

$$a,\ b,\ 4,\ 3cd,\ 2ax^2$$

1つしかないから『単』項式って意味ですね!

次数とは

次数とは
単項式の掛けた文字の個数です。

例えば、

$$a,\ b,\ 4,\ 3cd,\ 2ax^2$$

の次数は左から

$$1,\ 1,\ 0,\ 2,\ 3$$

となります。
「次数」は「文字の数」って覚えておきましょう!

係数とは

係数とは
単項式の数字の部分のことです。

例えば、

$$a,\ b,\ 4,\ 3cd,\ 2ax^2$$

の次数は左から

$$1,\ 1,\ 4,\ 3,\ 2$$

となります。
\(a\) と\(b\)のように文字だけの単項式の場合、\(1a\)を省略して\(a\)と書いているため係数は\(1\)です。
係数が\(1\)のときは、係数の\(1\)は省略します!

なんで?と思うかもしれませんが、数学のルールなので、「そうなのね」くらいに考えておきましょう。

単項式の乗法

単項式の乗法を理解するには、「累乗と指数」、「指数法則」の2つを知っておく必要があります。
まずは「累乗と指数」「指数法則」について簡単に解説し、その後で単項式の情報を解説していきます!

解説内容(クリックで該当箇所に飛べます)

累乗と指数

例えば\(a\)を\(3\)個掛け合わせたものを\(a\)の\(3\)乗といい\(a^3\)と書きます。
また同様に、\(n\)個掛け合わせたら\(a\)の\(n\)乗といい\(a^n\)と書けます。

これら\(a^1,\ a^2,\ a^3\cdots\)をまとめて\(a\)の累乗と言います。

この時、右上に書いた小さく書いた\(1,\ 2,\ 3\cdots\)の数字を指数と言います。

指数法則

指数法則は大きく下記の3つです。

  1. \(a^m\times a^n=a^{m+n}\)
  2. \((a^m)^n=a^{mn}\)
  3. \((ab)^n=a^nb^n\)

(※\(m,\ n\)は自然数である。)

1つずつ具体例を見ていきましょう。

\(a^m\times a^n=a^{m+n}\)

累乗の積の場合、指数は足し算になります。
\(m=3,\ n=4\)として考えてみましょう。

$$a^3\times a^4=(a\times a\times a)\times(a\times a\times a\times a)=a^7$$

$$∴\ a^3\times a^4=a^{3+4}=a^7$$

\((a^m)^n=a^{mn}\)

累乗の累乗の場合、指数の積が指数になります。
\(m=3,\ n=4\)のとして考えてみましょう。

$$(a^3)^3=a^3\times a^3\times a^3\times a^3=a^12$$

$$∴(a^3)^3=a^{3\times 4}=a^{12}$$

\((ab)^n=a^nb^n\)

文字の積の累乗は、席になっている文字(今回は\(a\)と\(b\))全てに指数がつきます。
\(n=3\)を例に考えてみましょう。

$$(ab)^3=(a\times b)\times(a\times b)\times(a\times b)=(a\times a\times a)\times(b\times b\times b)=a^3b^3$$

上記のように\(a\)と\(b\)の両方に指数の\(3\)がつきますね。


では指数法則を使って単項式の乗法を求めていきましょう!

単項式の乗法

単項式の乗法のポイントは2つです。

  • 係数は係数どうしで計算
  • 文字は文字どうしで計算

\(3a^3b\times 2a^2b^2=\)を例に解説しますね。

単項式の乗法|\(3a^3b\times 2a^2b^2=\)を解いてみる

まずは係数を計算しましょう。
\(3a^3b\)の係数は\(3\)、\(2a^2b^2\)の係数は\(2\)です。

係数は係数どうしで計算するので、\(3\times 2=6\)です。
次に文字の計算をしましょう。

文字どうしの計算は下記のようになります。
\(a^3b\times a^2b^2=(a^3\times a^2)\times (b\times b^2)=a^5b^3\)です。

ここの計算には指数法則の\(a^m\times a^n=a^{m+n}\)を使用しています!

係数が\(6\)、文字が\(a^5b^3\)になったので、答えは\(6a^5b^3\)となります。

$$3a^3b\times 2a^2b^2=6a^5b^3$$

イメージできたでしょうか?
この記事の最後に練習問題を付けているので、よかったらご活用ください!


それでは単項式の除法を解説していきます!

単項式の除法

単項式の除法は逆数の乗法と考えればOKです!
具体例を見て学んでいきましょうー

除法の計算|一般的な例題

\(4x^3y\div2x=\)を例に考えてみましょう。

除法は割る数の逆数の乗法と同じ意味です。

\(2x\)の逆数は\(\displaystyle \frac{1}{2x}\)です。
除法を逆数の乗法にすると下記の式になります。

$$4x^3y\div 2x=4x^3y \times \displaystyle \frac{1}{2x}$$

ここまでくれば、約分して計算できます。

$$\cancelto{2x^2}{4x^3}y \times \displaystyle \frac{1}{\cancel{2x}}=2x^2y$$


分数の場合も例題を通して解説しますね!

除法の計算|分数の場合

\(\displaystyle \frac{3x^3y^3}{4a}\div\displaystyle \frac{6xy^2}{2a}=\)を例に解説していきます!

まずは除法を逆数の乗法に直します。

$$\displaystyle \frac{3x^3y^3}{4a}\div\displaystyle \frac{6xy^2}{2a}=\displaystyle \frac{3x^3y^3}{4a}\times\displaystyle \frac{2a}{6xy^2}=$$

あとは約分をしていきます。

$$\displaystyle \frac{\cancelto{x^2y}{3x^3y^3}}{\cancelto{2}{4a}}\times\displaystyle \frac{\cancel{2a}}{\cancelto{2}{6xy^2}}=\displaystyle \frac{x^2y}{4}$$


以上で計算は終わりです!
練習問題を解いて理解を深めていきましょうー

練習問題

\((1)\ 3a\times 4a=\)

\((2)\ 3a^3b^2\times 4b^2=\)

\((3)\ 8x^5y^2\div 4x^3y^2=\)

\((4)\ \displaystyle \frac{5x^3y^2}{4}\div\displaystyle \frac{10x^2y^2}{8}=\)

\((1)\ 12a^2\)

\((2)\ 12a^3b^4\)

\((3)\ 2x^2\)

\((4)\)

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{5x^3y^2}{4}\div\displaystyle \frac{10x^2y^2}{8}
&=&\displaystyle \frac{5x^3y^2}{4}\times\displaystyle \frac{8}{10x^2y^2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{5x^3y^2}{4}\times\displaystyle \frac{4}{5x^2y^2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\cancelto{x}{5x^3y^2}}{\cancel{4}}\times\displaystyle \frac{\cancel{4}}{\cancel{5x^2y^2}}\\\\
&=&x \end{eqnarray}

単項式の解説は以上です!

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