【中1数学】空間図形|平面の決定と直線・平面の位置関係【平行と垂直】

今回のテーマは『空間図形の平面の決定と直線・平面の位置関係』です。

解説する内容はこちら!

解説する内容!
  • 平面が決定する条件
  • 直線と直線の位置関係
  • 直線と平面の位置関係
  • 平面と平面の位置関係

平面が決定する条件や、直線・平面の位置関係は、空間図形を難しく感じる小単元になります。

頭の中で3Dを動かさないといけないので、平面や計算は得意でも空間は苦手という人が多いのです。

この記事ではイメージしやすい図をたくさん使って、要点を絞って解説しています。短時間でこの小単元を学べる、ここだけの解説です!

短時間で学んで、余った時間を他の苦手科目に回して、全教科の得点アップを狙いましょう!

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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平面が決まる条件

まずは平面が決まる条件です。

平面が決まる条件とは、「この条件なら、この平面以外ありえないよね!」と言う条件のことです。

まずはイメージしてみましょう。何もない空間を思い描いてください。真っ白な音も匂いもない空間です。

そこに平面が現れました。四角形です。自由に動き回っています。

平面は空間では自由に動き回ることができる、どんな平面でも存在できるのです。

はい、戻ってきてください笑

では、平面のうち何が決まれば、平面の自由を奪って、「君はこの平面だよ!」と言えるのか。これが平面が決まる条件です。

平面が決まる4つの条件

平面が決まる条件は次の4つです。

平面が決まる4つの条件
  1. 同じ直線上にない、3つの点を含む平面
  2. 1つの直線と、その直線上にない1点を含む平面
  3. 交わる2直線を含む平面
  4. 平行な2直線を含む平面

この4条件のどれかを満たすと、平面は自由に動けなくなるのです。

 

「あれ?交わる2直線と平行な2直線があるなら、単に2直線を含む平面じゃダメなのかな?」

と質問を受けることがたまにあります。2直線があったら平行か交わるかの2つしか位置関係がないからです。

実は平面図形だとその2種類しかないのですが、空間図形になると、もう1つ位置関係が存在します。

それについては次に解説します。

直線と直線の位置関係

直線が2本あったとき、平面図形だと、2直線の位置関係は平行か交わるかの2つでした。

しかし空間図形だと、もう1つ『ねじれの位置』という位置関係が存在します。

交わりもしないし、平行でもない位置関係をねじれの位置といいます。

ねじれは受験でも出る重要なキーワードなので覚えておきましょう!

直線と平面の位置関係

直線と平面の位置関係にも、平行と垂直があります。

直線と平面の平行とは、「直線と平面が交わらないこと」です。

例えば、図のような直線ℓと平面Pは交わらないので、平行と言えます。

平行を表す記号は平面図形と同じです。

$$ℓ/\! /P$$

と書きます。

直線ℓと平面Pが1点で交わって、その点を通る平面P上の全ての点と垂直に交わるとき、直線ℓと平面Pは垂直であるといいます。

よくわからないと思うので、図でみてみましょう。

垂直も記号は変わらないので、下記のように表します。

$$ℓ\perp P$$

また、平面が決まる条件に、「交わる or 平行な2直線を含む」とあるので、直線ℓが平面P上の2本の直線と垂直であることを示せば、直線ℓと平面Pが垂直だと証明できます。

この辺りは難しいので、頭の片隅に置いておいて、練習問題などで出会ったら「なんかあったぞ!」くらいに引き出せるようにしておきましょう!

平面と平面の位置関係

最後は平面と平面の位置関係です。

2つの平面がPとQが交わらないとき、平面Pと平面Qは平行であるといい、\(P/\! /Q\)と表します。

2つの平面が交わるときは交線ができます。

交線とは、「2つの平面が交わるとき、交わっている直線のこと」です。

また、平面Pに垂直な直線ℓを平面Qが含むとき、平面Pと平面Qは垂直であるといい、\(P\perp Q\)と表します。

今回は以上です!

【中1数学】空間図形

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