有理化|なぜ必要か。計算方法と一緒に平方根(ルート)を外す方法を解説!

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 有理化とは
分母にあるルートを外すこと

有理化というと大きく2つに分けられるかなと思います。

パターン1:\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}\)

パターン2:\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=3(\sqrt{3}+\sqrt{2})\)

の2パターンです。

ここでは、なぜ有理化が必要かを解説し、有理化パターン1に絞って計算方法を解説します。

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なぜ有理化が必要なのか

$$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}},\ \displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}},\ \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{5}$$

この3つは全く同じ数を表しています。どれを書いても同じなのです。では、なぜ有理化が必要なのか。

実は、有理化が必要な数学的な理由はありません。(私には説明できないです。)

ただし、有理化した方がありがたい場合は2つ程あるかなと思います。

有理化する理由1:計算できるようになる

例えば、\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}}+\frac{4}{5}\)の計算の場合、有理化がないと計算ができません。

有理化ができれば、この複雑な数式を簡単にすることができます。

$$\frac{3}{\sqrt{5}}+\frac{4}{5}=\frac{3\sqrt{5}}{5}+\frac{4}{5}=\frac{3\sqrt{5}+4}{5}$$

有理化できないと計算ができませんよね。

有理化する理由2:表記が1つに確定する

さっきの式を使うと、

$$\frac{3\sqrt{5}+4}{5},\ \frac{4+3\sqrt{5}}{5}$$

の2つしか書きようがありません。有理化しないと書き方の候補がいくつもあることになります。

最初に紹介したやつも同じですよね。有理化することで一意に決まるのは数式の整理の観点では大きいです。

有理化の方法

ここからは有理化の方法を解説します。

やり方は簡単!分母のルート\(\sqrt{\ }\)と同じ数を分母と分子にかけるだけ!例題を使って解説します。

 

例題:\(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}\)を有理化せよ

\(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}\)の場合は分母と分子に\(\sqrt{3}\)をかければOK

$$\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

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この記事を書いた人
Kota

福岡県出身。高専から大学へ三年次編入したのち、大学院で工学の修士号・博士号を取得。数学と物理のプロフェッショナル。専門は電気。共同研究のためアイルランドへ留学経験あり。留学前は英語力が絶望的だったため、独学で猛勉強。海外旅行に1人で行ける程度の英語力を身につける。趣味はバドミントン・ボードゲーム・料理。最近はパン作りと英語多読にハマり中。TwitterとInstagramでも情報発信やってます!

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