【三角比】の相互関係|公式の証明もしっかり解説

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三角比の相互関係とその証明を解説します。相互関係は以下の3つの式です。

三角比相互関係の公式!$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1・・・(1)$$

$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}・・・(2)$$

$$\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}・・・(3)$$

これら3つの公式について証明しますね。

トムくん
トムくん

この3つの式は暗記した方がいいの?

くりまろ
くりまろ

覚えられるなら覚えた方が良いよ!でも使っていくうちに嫌でも覚えることになるから心配しなくていいかな

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\(\sin^2 θ+\cos^2 θ=1\)の証明

三角比の相互関係は定理ではないので、証明ってほどでもないですが簡単なのでちゃちゃっとやっちゃいましょう!

このような三角形を基本に考えます。

すると、

$$\begin{align}
\sin^2 θ+\cos^2 θ&=\left(\frac{y}{r}\right)^2+\left(\frac{x}{r}\right)^2\\&=\frac{x^2+y^2}{r^2}\\&=\frac{r^2}{r^2}※\\&=1\end{align}$$

(※ピタゴラスの定理より\(x^2+y^2=r^2\))

簡単ですよね。

トムくん
トムくん

めっちゃ簡単じゃん!

\(\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}\)の証明

くりまろ
くりまろ

\(\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}\)も簡単に説明ができるよ!

こちらもこの三角形を使います。

$$\begin{align}\frac{\sin θ}{\cos θ}&=\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}
\\&=\frac{y}{x}
\\&=\tan θ  \end{align}$$

トムくん
トムくん

なるほど。\(\tanθ\)は\(\sinθ\)と\(\cosθ\)で書けるんだ。

くりまろ
くりまろ

三角比は3つあるけど、別々に考えるんじゃなくて、3つで1つのグループってイメージを持っておいた方が後々便利だよ。

\(\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}\)の証明

これは上の2つの式を使えばすごく簡単です。

三角比相互関係の公式(再掲)$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1・・・(1)$$

$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}・・・(2)$$

$$\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}・・・(3)$$

$$\begin{align}\tan^2 θ+1 &=\frac{\sin^2 θ}{\cos^2 θ}+\frac{\cos^2 θ}{\cos^2 θ}-(2)
\\&=\frac{\sin^2 θ+\cos^2 θ}{\cos^2 θ}
\\&=\frac{1}{\cos^2 θ}-(1)
\end{align}$$

(1), (2)ってのはその式を使ったよって意味です。超簡単ですよね!

トムくん
トムくん

すごい!もう3つとも終わっちゃった。

三角比の相互関係まとめ

今回の3つの相互関係(公式)は使う場面がすごく多いです。しかも、三角関数でもたくさん出てくるので今のうちにしっかり理解しておきましょう!

$$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1・・・(1)$$

$$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}・・・(2)$$

$$\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}・・・(3)$$

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