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三角関数表のタンジェントの表におけるtan311°を簡単導出!

この記事では、tan 311° = -1.150369…を三角関数表を使わずに求めるやり方について説明します。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は計算できます。
一方で、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$以外であるθ=1°だと求めるのが難しいです。

本記事では、tan 311° = -1.150369…になる理由を解説します。

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10桁のtan 311°を表す

最初に、tan 311°を10桁調べてみましょう!$$\tan 311° = -1.1503684073\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 311° = -1.150369…を明らかにする

tan 311° = -1.150369…を解くためにマクローリン展開を使います。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインを求められらます。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 311°=5.427973…$$ $$\sin 311° = -0.75471…$$
$$\cos 311° = 0.656059…$$

これを利用して、$\tan 311° = \displaystyle \frac{\sin 311°}{\cos 311°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 311° = -1.150369…$$

120秒で振り返るtan 311°

今回説明した内容を120秒で確認できる動画を準備しました。よかったら、参考にしてください!

(誠意作成中)

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