このページでは、tan 36° = 0.726542…を三角関数表を使わずに求める手法について説明します。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が計算できます。
しかし、上記以外の数字であるθ=1°だとタンジェントの計算が難しいです。
そのため、tan 36° = 0.726542…を計算する方法を紹介します。
tan 36°を10桁書いてみる
初めに、tan 36°を10桁調べてみましょう！$$\tan 36° = 0.726542528\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 36° = 0.726542…を計算する
tan 36° = 0.726542…を解くためにマクローリン展開を利用します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインの値が出ます。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 36°=0.628318…$$ $$\sin 36° = 0.587785…$$
$$\cos 36° = 0.809016…$$
この2つの値を使うことで、$\tan 36° = \displaystyle \frac{\sin 36°}{\cos 36°}$からtanを求めることができます。
$$\tan 36° = 0.726542…$$
120秒で振り返るtan 36°
このページで解説した内容を120秒で確認できる動画を用意しました。
コメント