それでは、tan 39° = 0.809784…を計算する手法について解き明かしていきます。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
上記のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が求まります。
ですが、 θ=1°だと計算するのが困難です。
そのため、tan 39° = 0.809784…を計算する方法を紹介します。
tan 39°を10桁調べる
初めに、tan 39°を10桁調べてみましょう！$$\tan 39° = 0.8097840331\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 39° = 0.809784…を算出する
tan 39° = 0.809784…を算出するためにマクローリン展開を駆使します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインの値が求まります。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 39°=0.680678…$$ $$\sin 39° = 0.62932…$$
$$\cos 39° = 0.777145…$$
サインとコサインを使って$\tan 39° = \displaystyle \frac{\sin 39°}{\cos 39°}$からtanを求めることができます。
$$\tan 39° = 0.809784…$$
tan 39°｜120秒の復習動画
この記事で説明した内容を120秒で確認できる動画を作りました！
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