今回は、tan 55° = 1.428148…を三角関数表を使わずに求めるやり方について解説していきます。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
表で表す通り、$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
一方で、中途半端なθ=1°だと求めるのが困難です。
そこで、tan 55° = 1.428148…を計算する方法を説明します。
tan 55° を10桁表す
最初に、tan 55°を10桁表してみましょう！$$\tan 55° = 1.4281480067\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 55° = 1.428148…を解く
tan 55° = 1.428148…を解くためにマクローリン展開を利用します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を代入するとサインとコサインの値が出ます。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 55°=0.959931…$$ $$\sin 55° = 0.819152…$$
$$\cos 55° = 0.573576…$$
サインとコサインの値から$\tan 55° = \displaystyle \frac{\sin 55°}{\cos 55°}$からtanを計算できます。
$$\tan 55° = 1.428148…$$
tan 55°を復習できる動画
このページで紹介した内容を120秒で復習できる動画を準備しました。
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