本解説では、tan 66° = 2.246036…を三角関数表を使わずに求める手法について説明します。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は直角三角形から数値が算出できます。
一方で、 θ=1°だと計算するのが困難です。
本記事では、tan 66° = 2.246036…になる理由を紹介します。
10位目までtan 66°を書いてみる
唐突ではありますが、tan 66°を10桁表してみましょう！$$\tan 66° = 2.2460367739\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 66° = 2.246036…を求める
tan 66° = 2.246036…を算出するためにマクローリン展開を駆使します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を代入して計算するとサインとコサインが求まります。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 66°=1.151917…$$ $$\sin 66° = 0.913545…$$
$$\cos 66° = 0.406736…$$
そして、$\tan 66° = \displaystyle \frac{\sin 66°}{\cos 66°}$からtanを計算できます。
$$\tan 66° = 2.246036…$$
tan 66°を復習できる動画
このページで紹介した内容を120秒で確認できる動画を用意しました。
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