この記事では、tan 8° = 0.14054…を算出する手法について説明します。
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| y | 0 | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | – |
この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は具体的な値が計算できます。
ですが、中途半端なθ=1°だとタンジェントの計算が困難です。
そのため、tan 8° = 0.14054…となる計算について紹介します。
10位目までtan 8°を書いてみる
まずは、tan 8°を10桁確認してみましょう！$$\tan 8° = 0.1405408347\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
tan 8° = 0.14054…を算出する
tan 8° = 0.14054…を計算するためにマクローリン展開を駆使します。
\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}
$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインが求まります。
$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 8°=0.139626…$$ $$\sin 8° = 0.139173…$$
$$\cos 8° = 0.990268…$$
これを利用して、$\tan 8° = \displaystyle \frac{\sin 8°}{\cos 8°}$からtanを求められます。
$$\tan 8° = 0.14054…$$
120秒の復習動画｜tan 8°
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