三角関数表のコサインの表におけるcos51°を導出する

このページでは、cos 51° = 0.62932…を算出する手法について説明します。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の求める方法を明らかにしていきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、cos51°の算出方法解説です。

$$\cos 51°=0.62932…$$

cos 51° を10桁確認

唐突ではありますが、cos 51°を10桁書いてみましょう！$$\cos 51° = 0.629320391 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を活用せずにcos51°の値を計算するやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2の手法だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を紹介します。

マクローリン展開によって、下記の式で$\cos x$を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\cos x$の$x$が分かれば$\cos x$の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 51°$$

この式を計算すると、
$弧度法=0.890117…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\cos 51°$を求められます。

$$\cos 51° = 0.62932…$$