【２倍角の公式】導出と覚え方｜語呂合わせも解説【工学博士監修】

２倍角の公式とは

\begin{eqnarray}
(a)\ \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\ \\
(b)\ \cos 2\theta &=&\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\\
&=& 2\cos^2 \theta-1\\
&=&1-2\sin^2 \theta\\\\
(c)\ \tan 2\theta&=&\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}

2倍角の公式とは\((a),\ (b),\ (c)\)の3つの式から成る公式である。

加法定理

\begin{eqnarray}
\sin (A \pm B) &=& \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\\ \\
\cos (A \pm B) &=& \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\\ \\
\tan (A \pm B) &=& \displaystyle \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}
\end{eqnarray}

\((a)\ \sin 2A=2\sin A \cos A\)の導出

加法定理より、

$$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

ここで\(B=A\)とすると、

\begin{eqnarray}
\sin (A + A) &=&\sin A \cos A + \cos A \sin A \\
\sin 2A &=& 2\sin A \cos A
\end{eqnarray}

以上。

\((b)\ \cos 2A=\cos^2 A -\sin^2 A\)の導出

加法定理より、

$$\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B$$

ここで、\(B=A\)とすると、

\begin{eqnarray}
\cos (A + A) &=& \cos A \cos A – \sin A \sin A \\
\cos 2A &=& \cos^2 A -\sin^2 A \end{eqnarray}

以上。

また三角関数の公式、\(\sin^2 A+\cos^2 A =1\)より、

\begin{eqnarray} \sin^2 A &=& 1-\cos^2 A \\
\cos^2 A &=& 1-\sin^2 A \end{eqnarray}

である。よって、

\begin{eqnarray}
\cos 2A &=&\cos^2 A-\sin^2 A\\
&=& 2\cos^2 A-1\\
&=&1-2\sin^2 A
\end{eqnarray}

と変形できる。

\((c)\ \tan 2\theta=\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\)の導出

三角関数の公式より、

$$\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}=\tan A$$

２倍角の公式より、

\begin{eqnarray}
\sin 2A &=& 2\sin A \cos A \\\\
\cos 2A &=&\cos^2 A-\sin^2 A\
\end{eqnarray}

つまり、

\begin{eqnarray}
\tan 2A&=&\displaystyle \frac{\sin 2A}{\cos 2A}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2\sin A \cos A}{\cos^2 A-\sin^2 A}\\\\
&=& \displaystyle \frac{2\sin A \cos A}{\cos^2 A-\sin^2 A}\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\cos^2 A}}{\displaystyle \frac{1}{\cos^2 A}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}}{1-\displaystyle \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}
\end{eqnarray}

以上。

2種類の覚え方

1. 計算方法を覚える
2. 語呂合わせで覚える