【2倍角の公式】導出と覚え方|語呂合わせも解説【工学博士監修】

2倍角の公式とは

\begin{eqnarray}
(a)\ \sin 2\theta &=& 2\sin \theta \cos \theta \\ \\
(b)\ \cos 2\theta &=&\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\\
&=& 2\cos^2 \theta-1\\
&=&1-2\sin^2 \theta\\\\
(c)\ \tan 2\theta&=&\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}
\end{eqnarray}

2倍角の公式とは\((a),\ (b),\ (c)\)の3つの式から成る公式である。

三角関数の倍角の公式の導出(証明)と覚え方を解説していきます。

この記事を読めば、テストで計算問題が出ても、証明問題出ても、スラスラ解けるようになりますよ!
 

2倍角の公式は加法定理から導出するため、

  1. 加法定理の簡単な復習
  2. 2倍角の公式の導出
  3. 2倍角の公式の覚え方

の順番で、説明する予定です。

トムソン
トムソン

覚え方では私、工学博士トムソンのオリジナル語呂合わせを紹介しますよ!

では、いってみましょう〜

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加法定理の復習

加法定理は3つ(符号違いで計6つ)の公式かできた定理です。

加法定理

\begin{eqnarray}
\sin (A \pm B) &=& \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\\ \\
\cos (A \pm B) &=& \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\\ \\
\tan (A \pm B) &=& \displaystyle \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}
\end{eqnarray}

加法定理は上記のように3つの式からできた、三角関数の最重要定理です。

2倍角の公式はもちろん、他の公式を導出するのにも使われます。

など。

なので、時間があれば今のうちの加法定理もしっかり覚えておきましょう!

倍角の公式を導出(証明)

それでは、加法定理を使って2倍角の公式を導出していきます。

\((a)\ \sin 2A=2\sin A \cos A\)の導出

加法定理より、

$$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

ここで\(B=A\)とすると、

\begin{eqnarray}
\sin (A + A) &=&\sin A \cos A + \cos A \sin A \\
\sin 2A &=& 2\sin A \cos A
\end{eqnarray}

以上。

加法定理と\(B=A\)とすることの2つを覚えていれば簡単に導出できる式です。

\((b)\ \cos 2A=\cos^2 A -\sin^2 A\)の導出

加法定理より、

$$\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B$$

ここで、\(B=A\)とすると、

\begin{eqnarray}
\cos (A + A) &=& \cos A \cos A – \sin A \sin A \\
\cos 2A &=& \cos^2 A -\sin^2 A \end{eqnarray}

以上。

また三角関数の公式、\(\sin^2 A+\cos^2 A =1\)より、

\begin{eqnarray} \sin^2 A &=& 1-\cos^2 A \\
\cos^2 A &=& 1-\sin^2 A \end{eqnarray}

である。よって、

\begin{eqnarray}
\cos 2A &=&\cos^2 A-\sin^2 A\\
&=& 2\cos^2 A-1\\
&=&1-2\sin^2 A
\end{eqnarray}

と変形できる。

\(\cos 2A\)の式はたくさんあるから、覚えるのが大変に感じます。

しかし、覚える公式は1つでOK。

\(\cos 2A =\cos^2 A-\sin^2 A\)だけです。

あとは三角関数の公式から導きましょう。

$$\sin^2 A+\cos^2 A =1$$

\((c)\ \tan 2\theta=\displaystyle \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}\)の導出

三角関数の公式より、

$$\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}=\tan A$$

2倍角の公式より、

\begin{eqnarray}
\sin 2A &=& 2\sin A \cos A \\\\
\cos 2A &=&\cos^2 A-\sin^2 A\
\end{eqnarray}

つまり、

\begin{eqnarray}
\tan 2A&=&\displaystyle \frac{\sin 2A}{\cos 2A}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2\sin A \cos A}{\cos^2 A-\sin^2 A}\\\\
&=& \displaystyle \frac{2\sin A \cos A}{\cos^2 A-\sin^2 A}\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{\cos^2 A}}{\displaystyle \frac{1}{\cos^2 A}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}}{1-\displaystyle \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}}\\\\
&=&\displaystyle \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}
\end{eqnarray}

以上。

加法定理の証明も同じでしたが、\(\tan A=\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}\)の公式は非常に重要です。

しっかり覚えておきましょう!

2倍角の公式の覚え方

では、これまでに導出してきた2倍角の公式の覚え方です。

覚え方は2通りあります。

2種類の覚え方

  1. 計算方法を覚える
  2. 語呂合わせで覚える

です。

どちらの方が良いとかはありません。

あなたに合った方法で覚えましょう!

両方頭に入れておけば最強ですよ!

では、1つずつ解説していきます。

計算方法で覚える2倍角の公式

語呂合わせで完璧に暗記できれば良いのですが、実は結構難しいです。

三角関数は覚える公式がたくさんあるため、

語呂合わせなんだっけ???

と式が出てこないことは良くあること。

念の為、計算方法の覚え方を解説します。

トムソン
トムソン

計算のポイントを押さえれば、とっても簡単に覚えられるよ。

計算での覚え方

覚えることはたった3つ!

  1. 導出には加法定理を使う
  2. 加法定理の\(A+B\)を\(A+A\)にする
  3. \(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)である

例えば\(\sin 2A\)の導出だと、

\begin{eqnarray}
\sin (A + A) &=&\sin A \cos A + \cos A \sin A \
\sin 2A &=& 2\sin A \cos A
\end{eqnarray}

このように、加法定理の\(A+B\)を\(A+A\)にするだけで証明できます。

\(\cos 2A\)も同様です。

ただし、\(\tan 2A\)の導出では\(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)が必須なので、これは覚えておきましょう。

語呂合わせで覚える2倍角の公式

最後は語呂合わせです。

\(\sin 2A\)の語呂合わせ

『サイはNISA(ニーサ)行こう』

$$\sin 2A &=& 2\sin A \cos A$$

\(\sin 2A = \)『サイは』

\(2\sin A \cos A\)『NISA(ニーサ)行こ』う

です。

トムソン
トムソン

サイはNISAで節税したかったんでしょうね!

\(\cos 2A\)の語呂合わせ

『コツは小さじ my催事』

\begin{eqnarray}
\cos 2A &=& \cos^2 A -\sin^2 A \end{eqnarray}

\(\cos 2A=\)『コツは』

\(\cos^2 A\)『小さじ』

\(-\sin^2 A\)『my(マイナス)催事』

です。

トムソン
トムソン

my催事「自分のためのイベント」って感じかな?

コツは小さじ!!

\(\tan 2A\)の語呂合わせ

『単2は、いまだに にたんじ(異端児)』

$$\tan 2A=\displaystyle \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}$$

\(\tan 2A=\)『単2は』

\(1-\tan^2 A\)『い(1)ま(マイナス)だに』

\(2\tan A\)『にたん』じ(異端児)

です。

トムソン
トムソン

電池は確かに単3ばっかりで、単2なんて使わないよね。

2倍角の公式|まとめ

2倍角の公式の証明と覚え方を解説してきました!

導出で必要な知識はたった3つ!

2倍角の公式導出に必要な知識

必要な知識はたった3つ!

  1. 加法定理
  2. 加法定理の\(A+B\)を\(A+A\)にする
  3. \(\tan x=\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}\)である

この3つを組み合わせれば導出はできましたね。

覚え方は2つ

  • 計算を覚える
  • 語呂合わせを覚える

です。

語呂合わせは、サイン コサイン タンジェントの順番で

『サイはNISA(ニーサ)行こう』

『コツは小さじ my催事』

『単2は、いまだに にたんじ(異端児)』

ぜひご活用ください!

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