[数3]log xの積分｜2種類のログxを逆関数の微分法で微分する方法

今回は対数関数である\(\log x\)を逆関数の微分法を使って微分していきます。
微分する関数は下記の２種類です。

どちらも大切ですが、自然対数の微分は積分でも頻繁に登場する特に重要な微分ですよ！

逆関数の微分法とは

最初に逆関数の微分法について簡単に解説しておきます。
知ってる方は、『自然対数の微分｜（\(\log_e x)’\)』まで進んでください。

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普通だと「\(y\)を\(x\)で微分する」ため\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)を計算します。

逆関数の微分法は、その逆で\(\displaystyle \frac{dx}{dy}\)を計算して、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{1}{ \frac{dy}{dx}}\)として微分を求める方法です。

詳しい証明や解説は下記の記事にあるので、この記事を読んでも理解できなければ参考にしてください！

>>逆関数の微分法<<

では自然対数の微分から見ていきましょう。

自然対数の微分｜（\(\log_e x)’\)

初めに、これ以降は\(\log_e x=\log x\)と表記します。
一般的に自然対数は\(\log_e x,\ \log x,\ \ln x\)などと表記しますが、ここでは\(\log x\)で統一します。

では\(y=\log x\)を微分していきます。

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\begin{eqnarray}
y = \log x &\Leftrightarrow& x=e^y\ より\\\\
\displaystyle \frac{dx}{dy} &=& e^y\\
&=&x\\\\
∴\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{1}{ \frac{dx}{dy}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\end{eqnarray}

となります。

対数関数の微分｜（\(\log_a x)’\)

\(\log_a x\)の\(a\)は定数です。
では\(y=\log_a x\)を微分していきましょう！

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\begin{eqnarray}
y = \log_a x &\Leftrightarrow& x=a^y\ より\\\\
\displaystyle \frac{dx}{dy} &=& a^y \log a\\
&=&x \log a\\\\
∴\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{1}{ \frac{dx}{dy}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x \log a}\end{eqnarray}]

となります。

計算途中にある\((a^y)’=a^y \log a\)の微分は下記の記事をご参照ください！

>>\((a^x)’=a^x \log a\)のやり方<<

今回は以上です！