【微分】a^x(aのx乗)微分する3つの方法【定義/対数微分法/逆関数の微分法】

今回は\(a^x\)を微分していきます。
下記の微分を3つの方法で計算します。

$$\displaystyle \frac{d}{dx}a^x=a^x\log a$$

微分する3つの方法
  • 定義通り計算
  • 対数微分法
  • 逆関数の微分法

トムソン
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\(a^x\)の微分1|定義通り計算する

微分の定義は下記の式で表すことができます。

$$\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

ここで、\(f(x)=a^x\)とすると、\(f(x+h)=a^{x+h}\)となります。
計算していきましょう。


\begin{eqnarray}
\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{a^{x+h}-a^{x}}{h} \\ \\
&=& a^x\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{a^{h}-1}{h} \end{eqnarray}

\(a^h=e^{\log a^h}\)とおけるので、(詳細後述)

\begin{eqnarray}
&=& a^x \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{e^{\log a^h}-1}{h} \\\\
&=& a^x \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\displaystyle \frac{\log a^h}{h}\end{eqnarray}

ここで、
\(h\rightarrow 0\)のとき

\(\log a^h\rightarrow 0\)であり、

\(\displaystyle \frac{e^h-1}{h}\rightarrow1\)(自然対数の底、ネピア数)

であることを利用すると、

\begin{eqnarray}
&=& a^x \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot\displaystyle \frac{\log a^h}{h}\\\\
&=& a^x \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot\displaystyle \frac{h\log a}{h}\\\\
&=& a^x\codt1\cdot\log a
&=&a^x\log a\end{eqnarray}


定義による計算は以上です。
計算自体はややこしい印象で、特に\(\log a^h\)を分母分子にかけるのは知っていないと思いつかないでしょう。

\(a^h=e^{\log a^h}\)の理由

計算途中にあった\(a^h=e^{\log a^h}\)について解説です。
この式の両辺の対数を取れば、等しいことがわかります。

\begin{eqnarray}
a^h&=&e^{\log a^h} \\
\log (a^h)&=&\log (e^{\log a^h})\\
h \log a&=& \log a^h \cdot 1 \\
h \log a &=& h \log a
\end{eqnarray}

\(\log e=\log_e e\)の略なので、\(\log e=1\)となります。

\(a^x\)の微分2|対数微分法

\(a^x\)を対数微分法で解説していきます。

対数微分法とは、
両辺の対数を取ってから微分する方法のこと

対数微分法について詳しく知りたい方は下記の記事を参考にしてください!
>>対数微分法とは<<

それでは実際に計算していきましょう。


\(y=a^x\)を対数微分法で微分する。
両辺の対数を取ると\((1)\)式が得られる。

$$\log y=\log (a^x)=x\log a\cdots(1)$$

合成関数の微分法より、左辺を微分すると、
\((\log y)’=\displaystyle \frac{y’}{y}\)であるから

両辺を\(x\)で微分すると、下記のように計算できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{d}{dx}\log y &=& \displaystyle \frac{d}{dx}x\log a \\
\displaystyle \frac{y’}{y}&=&\log a\\
y’&=&y\log a\\
y’&=&a^x \log a \end{eqnarray}


では、最後に逆関数の微分法で微分していきましょう。

\(a^x\)の微分1|逆関数の微分法

逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$

普通だと「\(y\)を\(x\)で微分する」ため\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)を計算します。

逆関数の微分法は、その逆で\(\displaystyle \frac{dx}{dy}\)を計算して、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{1}{ \frac{dy}{dx}}\)として微分を求める方法です。

詳しい証明や解説は下記の記事にあるので、この記事を読んでも理解できなければ参考にしてください!

>>逆関数の微分法<<

では実際に微分していきましょう。


\(y=a^x\)を逆関数にすると、
\(x=\log_a y=\displaystyle \frac{\log y}{\log a}\)となります。

上記の式を\(y\)で微分すると、\((\log y)’=\displaystyle \frac{1}{y}\)を利用して、

\(\displaystyle \frac{dx}{dy}=\displaystyle \frac{1}{y\log a}\)

です。
\(y=a^x\)を代入して\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)を求めると、下記のようになる。

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{1}{\frac{dx}{dy}=a^x \log a\)


これで証明完了です。
3つの方法を見てきましたが、一般的に教科書で紹介されているのは2つ目の対数微分法が多いです。

一方で、定義通り微分できることも大切なので、頭の片隅に置いておきましょう。

定義通り・対数微分法でのやり方を忘れたときの予備として、逆関数の微分法の計算も知っておいて損はありませんよ。

今回は以上です!

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