【微分】a^x(aのx乗)微分する3つの方法【定義/対数微分法/逆関数の微分法】

今回は$a^x$を微分していきます。
下記の微分を３つの方法で計算します。

$$\displaystyle \frac{d}{dx}a^x=a^x\log a$$

微分する3つの方法

定義通り計算
対数微分法
逆関数の微分法

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$a^x$の微分１｜定義通り計算する

微分の定義は下記の式で表すことができます。

$$\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

ここで、$f(x)=a^x$とすると、$f(x+h)=a^{x+h}$となります。
計算していきましょう。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{a^{x+h}-a^{x}}{h} \\ \\
&=& a^x\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{a^{h}-1}{h} \end{eqnarray}

$a^h=e^{\log a^h}$とおけるので、（詳細後述）

\begin{eqnarray}
&=& a^x \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{e^{\log a^h}-1}{h} \\\\
&=& a^x \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\displaystyle \frac{\log a^h}{h}\end{eqnarray}

ここで、
$h\rightarrow 0$のとき

$\log a^h\rightarrow 0$であり、

$\displaystyle \frac{e^h-1}{h}\rightarrow1$（自然対数の底、ネピア数）

であることを利用すると、

\begin{eqnarray}
&=& a^x \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot\displaystyle \frac{\log a^h}{h}\\\\
&=& a^x \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{e^{\log a^h}-1}{\log a^h}\cdot\displaystyle \frac{h\log a}{h}\\\\
&=& a^x\codt1\cdot\log a
&=&a^x\log a\end{eqnarray}

定義による計算は以上です。
計算自体はややこしい印象で、特に$\log a^h$を分母分子にかけるのは知っていないと思いつかないでしょう。

$a^h=e^{\log a^h}$の理由

計算途中にあった$a^h=e^{\log a^h}$について解説です。
この式の両辺の対数を取れば、等しいことがわかります。

\begin{eqnarray}
a^h&=&e^{\log a^h} \\
\log (a^h)&=&\log (e^{\log a^h})\\
h \log a&=& \log a^h \cdot 1 \\
h \log a &=& h \log a
\end{eqnarray}

$\log e=\log_e e$の略なので、$\log e=1$となります。

$a^x$の微分２｜対数微分法

$a^x$を対数微分法で解説していきます。

対数微分法とは、
両辺の対数を取ってから微分する方法のこと

対数微分法について詳しく知りたい方は下記の記事を参考にしてください！
>>対数微分法とは<<

【微分】対数微分法とは｜例題と公式【いつ使う？絶対値が付く理由】

今回のテーマは対数微分法です。対数微分法とは、両辺の対数を取ってから微分する方法のこと...

それでは実際に計算していきましょう。

$y=a^x$を対数微分法で微分する。
両辺の対数を取ると$(1)$式が得られる。

$$\log y=\log (a^x)=x\log a\cdots(1)$$

合成関数の微分法より、左辺を微分すると、
$(\log y)’=\displaystyle \frac{y’}{y}$であるから

両辺を$x$で微分すると、下記のように計算できる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{d}{dx}\log y &=& \displaystyle \frac{d}{dx}x\log a \\
\displaystyle \frac{y’}{y}&=&\log a\\
y’&=&y\log a\\
y’&=&a^x \log a \end{eqnarray}

では、最後に逆関数の微分法で微分していきましょう。