今回は、cos 4° = 0.997564…を求める仕方について解説していきます。
三角関数表の中のコサイン(cos)の表に注目して、値の算出方法を解説していきます。
コサインの表とは下記のような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| cos1° | 0.999847 | cos2° | 0.99939 |
| cos3° | 0.998629 | cos4° | 0.997564 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| cos30° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | cos45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| cos60° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | cos90° | 0 |
教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
このページでは、cos4°の求める方法説明です。
$$\cos 4°=0.997564…$$
cos 4° を10桁調べる
早速ですが、cos 4°を10桁確認してみましょう！$$\cos 4° = 0.9975640502 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
cos4°の値を求める
三角関数表を確認せずにcos4°の値を計算する手法はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。
2の手法だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。
マクローリン展開でcos4°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\cos x\)を算出することができます。
$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば問題ないですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 4°$$
この式を計算すると、
$弧度法=0.069813…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 4°\)を求められます。
$$\cos 4° = 0.997564…$$
コメント