一次関数の式は、\(y＝ax＋ｂ\)です。
つまり、\(a\)と\(b\)がわかれば、一次関数の式を求めたと言えます。
求め方のパターンは無数に存在しますが、今回は重要な7つのパターンに厳選して、一次関数の式を求める方法を紹介します。
全てのパターンで例題も用意していますので、ぜひ最後まで読んでみてください！
一次関数の基本
最初に少しだけ一次関数の基本に触れておきます。
一次関数の\(y＝ax＋ｂ\)で、\(a\)は傾き、\(ｂ\)が切片を表します。
一次関数の場合、傾きと変化の割合は同じです。
変化の割合だけを求める問題も多くありますから、こちらの記事も参考にされてください。
>>一次関数の変化の割合の求め方<<
一次関数の求め方｜厳選された6つの方法
それでは具体的に7つの求め方を確認していきましょう。
- 傾きと切片から
- 傾きと1点から
- 切片と1点から
- 変化の割合と1点から
- 2点から
- 増加の値と1点から
- 減少の値と1点から
傾きと切片から解説します！
一次関数の求め方1｜傾きと切片から
問題
傾きが4で切片が7の一次関数の式を求めよ
解答
\(y＝4x＋7\)
解説
一次関数の傾きと切片がわかっている場合は、すでに求められているのと同じです。
間違えないように\(a\)と\(b\)の部分に代入してください。
問題の傾きが4で切片が7の一次関数の式は、a＝4、ｂ＝7です。
よって、
$$y＝4x＋7$$
となります。
一次関数の求め方2｜傾きと1点から
問題
傾きが\(6\)で点\((4,\ 10)\)を通る一次関数の式を求めよ
解答
\(y＝6x-14\)
解説
傾きが\(6\)で点\((4,\ 10)\)を通る一次関数の式を求めます。
\(y＝ax＋ｂ\)の式に傾き\(6\)を代入します。
すると\(y＝6x＋ｂ\)になります。
次に\(x\)に\(4\)、\(y\)に\(10\)を代入すると、\(10＝6×4＋ｂ\)という式が得られます。
この方程式を解くと\(b=-14\)だとわかります。
方程式の途中式はこちら
\begin{eqnarray}
10&＝&6×4＋ｂ\\
10&=&24+b\\
-b&=&24-10\\
-b&=&14\\
b&=&-14
\end{eqnarray}
以上より一次関数の式は、\(y＝6x-14\)になります。
一次関数の求め方3｜切片と1点から
問題
切片が5で点\((1,\ 3)\)を通る一次関数の式を求めよ
解答
\(y＝-2x＋5\)
解説
切片が5で点\((1,\ 3)\)を通る一次関数の式を求めます。
\(y＝ax＋ｂ\)の式に切片\(5\)を代入します。
切片は\(b\)なので、\(b=5\)としましょう。
\(y＝ax＋5\)になります。
次に\(x\)に\(1\)、\(y\)に\(3\)を代入します。
\(3＝a×1＋5\)となり、\(a＝-2\)となります。
途中式は下記の通りです。
\begin{eqnarray}
3&=&a×1＋5\\
3&=&a+5\\
-a&=&5-3\\
-a&=&2\\
a&=&-2
\end{eqnarray}
以上より、一次関数の式は\(y＝-2x＋5\)になります。
一次関数の求め方4｜変化の割合と１点から
問題
変化の割合が7で点\((2,\ 6)\)を通る一次関数の式を求め
解答
\(y＝7x-8\)
解説
変化の割合が7で点\((2,\ 6)\)を通る一次関数の式を求めます。
一次関数の場合、傾きと変化の割合は同じですので、\(a=7\)になります。
\(y＝ax＋ｂ\)の式の\(a\)に\(7\)を代入します。
すると、\(y=7x+b\)になります。
次に\(x\)に\(2\)、\(y\)に\(6\)を代入します。
\(6=7\times2+b\)となり、\(b=-8\)となります。
途中式は下記の通りです。
\begin{eqnarray}
6&=&7\times2+b\\
6&=&14+b\\
-b&=&14-6\\
-b&=&8\\
b&=&-8
\end{eqnarray}
以上より、一次関数の式は\(y=7x-8\)となります。
一次関数の求め方5｜２つの点から
問題
点\((2,\ 16)\)と点\((4,\ 22)\)を通る一次関数の式を求めよ。
解答
\(y=3x+10\)
解説
一次関数の応用問題では、この2点から一次関数の式を求めるケースがたくさん出てきます。
求め方は2つあります。
- 連立方程式使って求める方法
- 傾きを出してから求める方法
この2つの方法で解説していきます。
点\((2,\ 16)\)と点\((4,\ 22)\)を通る一次関数の式を求めます。
書き方としては、
「x＝2のときy＝16、x＝4のときy＝22となる一次関数の式を求めます。」と同じです。
連立方程式使って求める方法
一次関数の式\(y＝ax+b\)に２つの点の\(x\)と\(y\)を代入して、2式を立てます。
この2式を連立方程式にします。
\begin{cases}
16&=&2a+b\cdots①\\
22&=&4a+b\cdots②\end{cases}
上記の連立方程式を解くと
\begin{eqnarray}
4a+2b&=&32&\cdots&①'(①\times2)\\
4a+b&=&22&\cdots&②\\
10&=&b&\cdots&①’-②\\
16&=&2a+10&\cdots&①(b=10を代入)\\
a&=&3\\
\end{eqnarray}
となり\(a\)と\(b\)が求まります。
\begin{cases}a=3\\b=10\end{cases}
以上より、一次関数の式は\(y=3x＋10\)となります。
傾きを出してから求める方法
次に傾きを先に出してから、一次関数の式を求める方法を解説します。
まず、変化の割合の式から変化の割合(傾き)を求めます。
$$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$
\begin{eqnarray}
変化の割合&=&\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}\\\\
&=&\displaystyle \frac{22-16}{4-2}\\\\
&=&\displaystyle \frac{6}{2}\\\\
&=&3\end{eqnarray}
傾き\(3\)を\(y=ax+b\)の式に代入します。
すると、\(y=3x+b\)となります。
次に点\((2,\ 16)\)を\(x\)と\(y\)に代入します。
※このとき、点\((4,\ 22)\)を代入しても大丈夫です。
計算が簡単そうな点の方を代入するのがおすすめです。
\((2,\ 16)\)を\(x\)と\(y\)に代入すると、\(16=3×2+b\)となり、\(b=10\)になります。
以上より、一次関数の式は\(y=3x+10\)となります。
どちらの解き方でもy＝3x＋10になりました。
一次関数の求め方6｜増加の値と1点から
問題
\(x\)の増加量が\(5\)で\(y\)の増加量が\(30\)で、点\((5,\ 10)\)を通る一次関数の式を求めよ
解答
\(y＝6x＋20\)
解説
\(x\)の増加量が\(5\)で\(y\)の増加量が\(30\)で、点\((5,\ 10)\)を通る一次関数の式を求めます。
一次関数では傾きと変化の割合は同じなので、下記の式で求めることができます。
$$傾き=変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$
傾きを計算すると下記のようになります。
\begin{eqnarray}
傾き=\displaystyle \frac{30}{5}=6
\end{eqnarray}
傾きが\(6\)だとわかりました。
傾き\(6\)を\(y=ax+b\)の式の\(a\)に代入します。
すると、\(y＝6x+b\)が得られます。
次に点\((5,\ 10)\)を\(x\)と\(y\)に代入します。
\(10=6×5+b\)が得られ、一次方程式を解くと\(b=20\)になります。
以上より、一次関数の式は\(y＝6x＋20\)となります。
xやyが減少する場合も同じように考えて大丈夫です。
一次関数の求め方7｜減少の値と1点から
xの増加量が3でyの減少量が24で、点\((4,\ -20)\)を通る一次関数の式を求めます。
yの減少量24は「－24増加している」と考えてください。
$$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$
ですので、
\begin{eqnarray}
変化の割合&=&\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量} \\\\
&=&\displaystyle \frac{-24}{3}\\\\
&=&-8\end{eqnarray}
一次関数では変化の割合と傾きが同じなので、\(a=-8\)となります。
傾き\(-8\)をy＝ax＋ｂの式に代入すると、y＝-8x+bとなります。
次に点\((4,\ -20)\)を\(x\)と\(y\)に代入します。
\begin{eqnarray}
-20&＝&-8×4+b\\
-20&=&-32+b\\
32-20&=&b\\
-b&=&-12\\
b&=&12
\end{eqnarray}
となるため、\(b=12\)だと分かります。
以上より、一次関数の式は\(y=-8x+12\)となります。
点\((2,\ 16)\)と点\((4,\ 22)\)を通る一次関数の式の問題を使って検算のやり方を紹介します。
求めた式が本当に点\((2,\ 16)\)と点\((4,\ 22)\)を通る式になっているかの確認です。
\(y＝3x＋10\)の\(x\)に\(2\)を代入すると、\(y＝3×2＋10\)となり\(y＝16になります。
同じように
y＝3x＋10のxに4を代入すると、y＝3×4＋10となりy＝22になります。
この確認作業とても大切です。
面倒に思わず行うようにしてくださいね。
まとめ
一次方程式の式の求め方を7つ紹介してきました。
7つの解き方の共通して知っておくべきことは、この2つです。
- 一次関数の式\(y＝ax+b\)でaが傾き（変化の割合）、ｂが切片を表すこと。
- 傾き（変化の割合）は下記の式で表すこと
$$変化の割合=\displaystyle \frac{yの増加量}{xの増加量}$$
2点を通る一次関数の式を求める場合、導き出した一次関数の式がきちんと2点を通るか確認することも忘れないでください。