[中3]平方根の利用｜問題とわかりやすい解き方  

今回は平方根の利用について解説していきます。
3問の問題と解き方を解説していきますので、自然と平方根の計算が身に付く仕組みになっています。

平方根が苦手な方でもわかるように、しっかりと解説していますので、ぜひ最後まで読んでいってください。

平方根の利用：自然数にする問題1

平方根の利用ではルートの中身を自然数にする問題が出ます。
まずは自然数とは何かを復習します。
そのあとで、ルートの中が引き算の場合をみていきましょう。

自然数とは

自然数とは、1、2、3、4、5、6、７・・・と無限に続く数です。

0「ゼロ」、分数、少数、負の数は含みません。

ルートの中を自然数にする問題｜引き算

問題

\(\sqrt{50-n}\)が自然数となる自然数\(n\)を全て求めよ

解答

\(n=49,\ 46,\ 41,\ 34,\ 25,\ 14,\ 1\)

解説

\(50-n\)の最小値は、\(n\)が49の時で\(50-n=1\)です。(\(n\)が50より大きいと、\(50-n\)は0または負の数となり適さない）
また、最大値は\(n\)が1の時で\(50-n=49\)です。

次に、ルートが自然数になるには、ルートの中が自然数の二乗になる必要があります。
二乗になる数を、最小値と最大値の間で書き出すと、以下のようになります。
\(1^2=1,\ 2^2=4,\ 3^2=9,\ 4^2=16,\ 5^2=25,\ 6^2=36,\ 7^2=49 \)
この数から\(n\)を全て求めると、

\[ \qquad 50-n=1 \qquad n=49 \\ \qquad 50-n=4 \qquad n=46 \\ \qquad 50-n=9 \qquad n=41 \\ \qquad 50-n=16 \qquad n=34 \\ \qquad 50-n=25 \qquad n=25 \\ \qquad 50-n=36 \qquad n=14 \\ \qquad 50-n=49 \qquad n=1 \\ \]

となります。

平方根の利用：自然数にする問題2

ルートの中を自然数にする問題｜掛け算

問題

\(\sqrt{18n}\)が自然数となる自然数nのうち、小さい順に３つ値を求めよ

解答

小さい順に\(2，8，18\)

解説

\(n\)を決定するためには、ルートの中が自然数の二乗になる必要があります。
しかし、\(18n\)の二乗の数を見つけるのは、数字が大きくなって大変です。
ここでは、素因数分解を利用します。

まず、18を素因数分解すると、\(18=2\times3^2\)となります。
2乗の数にするには、全ての数を偶数個にすればOK

\(18\)は\(2\)が1個と\(3\)が2個あるので、\(2\)を掛ければ、\(2\)も\(3\)も偶数個になりますね。

二乗の数にするため2を掛けると、\(18\times2=36=2^2\times3^2\)となります。
つまり\(\sqrt{36}=\sqrt{2^2\times3^2}=6\)です。

次に、\(2\)を4個にするために、\(2^3=8\)を掛けると、\(18\times8=144=2^4\times3^2\)です。
つまり、\(\sqrt{2^4\times3^2}=2^2\times3=12\)となります。

最後に、\(2\)を6個にするために、\(2^5=32\)を掛けると、\(18\times32=576=2^6\times3^2\)
よって\(\sqrt{2^6\times3^2}=2^3\times3=24\)です。

一方、\(2\)を2個にして\(3\)を4個にする方法を考えてみましょう。
\(2\times3^2=18\)を掛けると、\(2\)が2個になって\(3\)を4個になりますね。
\(18\times18=324=2^2\times3^4\)
以上より、\(\sqrt{2^2\times3^4}=2\times3^2=18\)

従って、求める自然数nは、小さい順に2，8，18である。

平方根の利用：自然数にする問題3

ルートの中を自然数にする問題｜分数

問題

\(\displaystyle\sqrt{\frac{54n}{7}}\)が自然数となる自然数nのうち最も小さい値を求めよ

解答

\(n=42\)

解説

まずは、素因数分解を利用します。
54を素因数分解すると、\(54=2\times3^3\)。

ルートが自然数になるには分数ではだめなので、\(n\)に7の素因数が含まれていなければなりません（約分して分母を消す事が出来る）。

ここで、\(n=m\times7\)（\(m\)は自然数）とすると、\(54n=2\times3^3\times m\times7\)となります。
\(2\times3^3\times m\)が最小の二乗の数となるためには、\(m=2\times3\)になればよいので、
\(54n=2\times3^3\times2\times3\times7=2^2\times3^4\times7=2268\)です。

以上より、\(n=\frac{2268}{54}=42\)
よって、求める\(n\)は42となります。

■まとめ

　自然数は、0「ゼロ」、分数、少数、負の数を含まない　1、2、3、4、5、6、７・・・と無限に続く数です。

ルートの中が二乗の数になると、ルートを外すことが出来ます。

二乗になる数を見つけるには、素因数分解を利用しましょう。