4乗の因数分解が解ける！知っておくべき3つの解き方

4乗の因数分解公式は数学では習いません。
公式と呼ぶにはパターンが多すぎてまとめきれないからです。

とはいっても4乗の因数分解は難しいので、パッと解ける公式があると嬉しいですよね。

そこで今回は、4乗の因数分解を解くパターンを紹介します。

4乗の因数分解を解く3パターン

4乗の因数分解は問題のパターンが数多くあるため、2乗や3乗と違って公式がほとんど存在しません。

そのため、4乗の因数分解をするために必須とも言える解き方のパターンを3つ紹介します。

※参考記事
因数分解公式一覧（高校数学）

[数1]二次方程式の解き方の見分け方｜因数分解？解の公式？もう悩まない！

パターン1｜4乗を2乗に置き換え

【例】\(x^4-2x^2y^2+y^2\)を因数分解せよ。

この場合は、\(x^4=X^2,\ y^4=Y^2\)と置いてやりましょう。

\begin{eqnarray}
& &x^4-2x^2y^2+y^2\\
&=&X^2-2XY+Y^2\\
&=&(X-Y)^2\\
&=&(x^2-y^2)^2
\end{eqnarray}

以上のように4乗を2乗に置き換えることで因数分解できるパターンはとても多いです。
覚えておくと便利でしょう！

パターン2｜4乗を因数分解できる形にする

次に因数分解できる形にするパターンを紹介します。

【例】\(x^4+4\)を因数分解せよ

\begin{eqnarray}
& &x^4+4\\
&=&x^4+4x^2+4-4x^2\\
&=&(x^2+2)^2-4x^2\\
&=&\{(x^2+2)+2x)\}\{(x^2+2)-2x\}\\
&=&(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
\end{eqnarray}

以上のように\(4x^2\)を足して引いてやることで、4乗を因数分解できる形にしてやる方法も重要ですね。

パターン3｜因数定理を使って4乗を因数分解する

因数定理より、\(P(n)=0\)となる\(n\)があるとき、\(P(x)\)は\((x-n)\)で割り切れます。

この条件を使って因数分解する方法です。

※参考記事
[数2]因数定理とは？見つけ方と証明をわかりやすく解説

【例】\(P(x)=4x^4+8x^3-13x^2-20x+12\)を因数分解せよ

\(x=-2\)を代入すると、

\((-2)^4=16,\ (-2)^3=-8,\ (-2)^2=4,\ (-2)^1=-2\)より

\(P(-2)=0\)である。
よって、\(P(x)\)は\(x+2\)で割り切れる。
上記のように因数定理を繰り返すことで因数分解する方法である。

\begin{eqnarray}
& &4x^4+8x^3-13x^2-20x+12\\
&=&(x+2)(4x^3-13x+6)\\
&=&(x+2)^2(4x^2-8x+3)\\
&=&(x+2)^2(2x-3)(2x-1)
\end{eqnarray}

因数分解クイズ！