[数A]接弦定理の証明

2022 12/30

2022年11月25日 2022年12月30日

接弦定理の証明をします。

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接弦定理

三角形とその三角形の外接円があるとき、円の接線と弦が作る角は、その弦に対する円周角と等しい

例えば上の図で言うと、円の接線と弦が作る角$∠SAC$とその弦に対する円周角$∠ABC$は等しくなります。($∠SAC=∠ABC$)
同様に$∠TAB=∠ACB$も成り立ちます。

接弦定理の証明には下記の3つを証明する必要があります。

1つずつ証明していきます。

直線ACは円の中心（原点）を通っているため、弧ACの円周角$∠ABC=90°$である。
また、直線STは円の接戦であり、点Aは円と接線の接点なので、$∠SAC＝90°$。

以上より、$∠ABC＝∠SAC＝90°$

$$∴\ ∠SAC=∠ABC$$

円Oと円の接線STの接点Aより、円の中心Oを通る補助線DAを引く。
線ADは中心から接点に引いた線であるから、$∠DAT=90°$となる。

そして円の直径の円周角は$90°$であるから、$∠ABD=90°$。
さらに同じ弧の長さの円周角は、円周角の定理より角度も同じになるため、$∠ADB＝∠ACB$である。

三角形の内角の和は180°なので、
$∠ADB(◇)＋∠DAB(〇)＋∠ABD(90°)＝180°$
である。

つまり
$∠ACB(◇)=∠ADB(◇)＝90°-∠DAB(〇)\cdots(1)$と言える。

次に$∠TAD=90°$より、
$∠BAT＝90-∠DAB(〇)\cdots(2)$である。

$(1),\ (2)$より、$∠BAT＝90-∠DAB＝∠ACB$となる。

鋭角の接弦定理より、$∠A＝∠C$である。
$∠BAC$を〇とすると、円の接戦は直線なので、$◇＋〇＋∠TAC＝180°$とできる。

三角形の内角の和も180°であるから、同じく$〇＋◇＋∠ABC＝180°$となる。

以上より、$$∠TAC＝∠ABC=180-◇-○$$