【微分】1/xを2つの方法で微分する|定義と公式

今回は\(\displaystyle \frac{1}{x}\)を2つの方法で微分していきます。
具体的には下記の式の証明になります。

$$\left(\displaystyle \frac{1}{x}\right)’=-\displaystyle \frac{1}{x^2}$$

証明する方法は2つです。

  • 微分公式で計算
  • 定義通り計算

最初に微分の計算を解説して、後半に使用した公式等の解説をしていきます。

トムソン
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\(1/x\)を微分

では最初に微分公式を使って計算しましょう。

微分公式を使った微分

微分公式より、\((x^n)’=nx^{n-1}\)である。

\(\displaystyle \frac{1}{x}=x^{-1}\)なので、上記公式を用いると下記の通り微分できる。

\((x^{-1})’=-1\cdot x^{-1-1}=-\displaystyle \frac{1}{x^2}\)


上記の通り、公式を使えば難なく微分できてしまいます。
公式の証明については後半で解説しますね。

定義通りに微分

微分の定義は下記の通りです。

$$f'(x)=\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

ここで\(f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}\)なので、代入することで下記の通り微分できる。

\begin{eqnarray}
& & \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x+h}-\displaystyle \frac{1}{x}}{h} \\\\
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}\\\\
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{-h}{h\cdot x(x+h)}\\\\
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 } -\displaystyle \frac{1}{x(x+h)} \\\\
&=& -\displaystyle \frac{1}{x^2}
\end{eqnarray}


微分の計算は以上です。

定義通りの計算は分数がややこしいですが、計算自体は難しくない印象です。
ここからは微分に使った知識を解説します。

今回解説する内容は下記の1点です。

・\((x^n)’=nx^{n-1}\)

解説| \((x^n)’=nx^{n-1}\)の微分

二項定理を使った\(x^n\)の微分の証明をします。

\begin{eqnarray}
f'(x) &=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\
&=& \displaystyle\lim_{ h \to 0 } \displaystyle \frac{(x+h)^n-x^n}{h}\\\\\end{eqnarray}

ここで二項定理より、

$$(x+h)^n=x^n + {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-1}+h^n$$

とできるので、

\begin{eqnarray}
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 }\displaystyle \frac{1}{h}\left[ \left( {}_n \mathrm{ C }_0 x^n + {}{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-1}+{}_n \mathrm{ C}_nh^n\right)-x^n\right]\\\\
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 }\displaystyle \frac{1}{h} \left( x^n + {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-1}+{}_n \mathrm{ C}_nh^n-x^n\right)\\\\
&=&\displaystyle\lim_{ h \to 0 }\left( {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}xh^{n-2}+{}_n \mathrm{ C}_nh^{n-1}\right)\\\\
&=& {}_{n} \mathrm{ C }_1 x^{n-1}\\
&=&nx^{n-1}
\end{eqnarray}

となります。
もっと詳細の解説は下記の記事を参考にしてください。

>>\((x^n)’=nx^{n-1}\)の微分<<


\(\displaystyle \frac{1}{x}\)の微分は以上です!

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