【二項定理】良質な例題と定理の証明【しっかり理解できます】

ここでは二項定理の意味・例題・証明の3点を解説します。

二項定理$\begin{eqnarray}(a+b)^n\\={}_n \mathrm{ C }_0 a^n &+& {}_{n} \mathrm{ C }_1 a^{n-1}b + {}_n \mathrm{ C }_2 a^{n-2}b^2 \\ &+& \dots + {}_n \mathrm{ C }_{n-1}ab^{n-1}+{}_n \mathrm{ C }_nb^n\end{eqnarray}$

式で書くとすごく複雑に見えますが、数列っぽく書くとこうなります。

二項定理（数列Ver.）$\begin{eqnarray}
(a+b)^n=\displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } {}_n \mathrm{ C }_k a^k b^{n-k}
\end{eqnarray}$

工学博士

二項定理の式はかなり複雑に見えますよね。しかし、あなたなら絶対に理解できます。理解できるように解説しましたので、ぜひご一読ください。また、二項定理の理解には、組み合わせの公式${}_n \mathrm{ C }_k$の計算が必要になりますので、先に理解しておく方が良いでしょう。

※二項定理は組み合わせの公式（Cの計算）が必須です。分からない方は今のうちに復習しておきましょう！

【組み合わせの公式】Cについて例題を使った分かりやすい解説

組み合わせの公式$${}_n \mathrm{ C }_k=\frac{{}_n \mathrm{...

二項定理の式の意味
良質な例題（3問）
二項定理の証明

二項定理の式の意味

では例として$(a+b)^4$について考えてみましょう。

$$(a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$$

ですね。この式を展開しなさいと言われるとちょっとめんどくさいですよね。そんな時に使えるのがこの二項定理になります。

$(a+b)^4$なので、二項定理のnには4が入ります。

二項定理（n=4)$\begin{eqnarray}(a+b)^4\\={}_4 \mathrm{ C }_0 a^4 &+& {}_{4} \mathrm{ C }_1 a^{4-1}b + {}_4 \mathrm{ C }_2 a^{4-2}b^2 \\ &+& {}_4 \mathrm{ C }_{4-1}ab^{4-1}+{}_4 \mathrm{ C }_4b^4\end{eqnarray}$

Cについて組み合わせの公式を使って計算すると

${}_4 \mathrm{ C }_0={}_4 \mathrm{ C }_4=1 \\
{}_4 \mathrm{ C }_1={}_4 \mathrm{ C }_3=4 \\
{}_4 \mathrm{ C }_2=6$

これらのCの値を代入すると・・・

$$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$

では、少し練習してみましょう。

良質な例題（3問）

（１）$(a+b)^5$の$a^3b^2$の係数は何？

ヒント係数は${}_5 \mathrm{ C }_2$

Cの左は$(a+b)^5$の$5$、右は$a^3b^2$の$b^2$の$2$が入ってるよ！

答え：$10$
解説：$a^3b^2$なので係数は${}_5 \mathrm{ C }_2$
$${}_5 \mathrm{ C }_2=\frac{5 \times 4}{2!}=10$$

（２）$(a+2b)^5$の$a^2b^3$の係数は何？

ヒント$2b=B$と置いてみよう！

${}_5 \mathrm{ C }_□$になるよ！

答え：$80$
解説：$2b$だとややこしいので、$2b=B$と置きます。
$(a+B)^5$で$a^2B^3$の係数は${}_5 \mathrm{ C }_3$
$${}_5 \mathrm{ C }_2=\frac{5 \times 4}{2!}=10$$
つまり、$10a^2B^3$だと分かります。ここで$B=2b$を代入します。
$$10a^2B^3=10a^2(2b)^3=10a^2\times(8b^3)=80a^2b^3$$になります。よって答えは$80$です。

（３）$(a+b)^8$の$a^5b^4$の係数は何？

答え：$0$
解説：少しイジワルな問題ですが、$(a+b)^8$で$n=8$です。
しかし、$a^5b^4$の文字の数は合計9個です。
なので、$(a+b)^8$を展開しても$a^5b^4$は出てきません。
よって答えは$0$となります。

少しは二項定理が身近になったことを願いつつ、証明に移りましょう！

二項定理の証明

いきなり文字で証明すると難しいので、具体的な数字を入れて計算してみます。
$$(a+b)^4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$$
を使いましょう。ここで$a^4とb^4$は4か所すべてから$a$もしくは$b$を取るので、1回しか現れません。

$a^3b$について考えてみましょう。

$a^3b$になる組み合わせは計４つあります。

$b \times a \times a \times a \\ a \times b \times a \times a \\ a \times a \times b \times a \\ a \times a \times a \times b$

の４つです。
これって言い換えると
「４つのうち１つだけｂになる並べ方は何通りあるか。」
になります。

つまり、$${}_4 \mathrm{ C }_1=4$$

同様に、$a^2b^2$は
「４つのうち２つがｂになる並べ方は何通りあるか。」
$${}_4 \mathrm{ C }_2=6$$

$ab^3$は

「４つのうち３つがｂになる並べ方は何通りあるか。」
$${}_4 \mathrm{ C }_3=4$$
となります。

これを文字で表すと
$(a+b)^n$で、$a^{n-k}b^k$の項の係数は${}_n \mathrm{ C }_k$となって二項定理になるのです。

二項定理の式の意味

良質な例題（3問）

二項定理の証明

お気軽にコメントください！ 質問でも、なんでもどうぞ！

お気軽にコメントください！質問でも、なんでもどうぞ！