今回は対数関数である\(\log x\)を逆関数の微分法を使って微分していきます。
微分する関数は下記の２種類です。
どちらも大切ですが、自然対数の微分は積分でも頻繁に登場する特に重要な微分ですよ！
九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します！
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逆関数の微分法とは
最初に逆関数の微分法について簡単に解説しておきます。
知ってる方は、『自然対数の微分｜（\(\log_e x)’\)』まで進んでください。
逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$
普通だと「\(y\)を\(x\)で微分する」ため\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)を計算します。
逆関数の微分法は、その逆で\(\displaystyle \frac{dx}{dy}\)を計算して、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{1}{ \frac{dy}{dx}}\)として微分を求める方法です。
詳しい証明や解説は下記の記事にあるので、この記事を読んでも理解できなければ参考にしてください！
>>逆関数の微分法<<
では自然対数の微分から見ていきましょう。
自然対数の微分｜（\(\log_e x)’\)
初めに、これ以降は\(\log_e x=\log x\)と表記します。
一般的に自然対数は\(\log_e x,\ \log x,\ \ln x\)などと表記しますが、ここでは\(\log x\)で統一します。
では\(y=\log x\)を微分していきます。
\begin{eqnarray}
y = \log x &\Leftrightarrow& x=e^y\ より\\\\
\displaystyle \frac{dx}{dy} &=& e^y\\
&=&x\\\\
∴\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{1}{ \frac{dx}{dy}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\end{eqnarray}
となります。
対数関数の微分｜（\(\log_a x)’\)
\(\log_a x\)の\(a\)は定数です。
では\(y=\log_a x\)を微分していきましょう！
\begin{eqnarray}
y = \log_a x &\Leftrightarrow& x=a^y\ より\\\\
\displaystyle \frac{dx}{dy} &=& a^y \log a\\
&=&x \log a\\\\
∴\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{1}{ \frac{dx}{dy}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x \log a}\end{eqnarray}]
となります。
計算途中にある\((a^y)’=x \log a\)の微分は下記の記事をご参照ください！
>>\((a^y)’=x \log a\)のやり方<<
今回は以上です！