【微分】log x(ログx)|逆関数の微分法で2つ対数関数を微分する方法

今回は対数関数である\(\log x\)を逆関数の微分法を使って微分していきます。
微分する関数は下記の2種類です。

今回微分する2つの関数
  • \((\log_e x)’=\displaystyle \frac{1}{x}\)
  • \((\log_a x)’=\displaystyle \frac{1}{x\log a}\)

どちらも大切ですが、自然対数の微分は積分でも頻繁に登場する特に重要な微分ですよ!

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
・詳細なプロフィールはこちら

スポンサーリンク

逆関数の微分法とは

最初に逆関数の微分法について簡単に解説しておきます。
知ってる方は、『自然対数の微分|(\(\log_e x)’\)』まで進んでください。


逆関数の微分法$$g'(x)=\frac{1}{f'(y)} (※ただしf'(y) \neq 0)$$

普通だと「\(y\)を\(x\)で微分する」ため\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)を計算します。

逆関数の微分法は、その逆で\(\displaystyle \frac{dx}{dy}\)を計算して、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\displaystyle \frac{1}{ \frac{dy}{dx}}\)として微分を求める方法です。

詳しい証明や解説は下記の記事にあるので、この記事を読んでも理解できなければ参考にしてください!

>>逆関数の微分法<<

では自然対数の微分から見ていきましょう。

自然対数の微分|(\(\log_e x)’\)

初めに、これ以降は\(\log_e x=\log x\)と表記します。
一般的に自然対数は\(\log_e x,\ \log x,\ \ln x\)などと表記しますが、ここでは\(\log x\)で統一します。

では\(y=\log x\)を微分していきます。


\begin{eqnarray}
y = \log x &\Leftrightarrow& x=e^y\ より\\\\
\displaystyle \frac{dx}{dy} &=& e^y\\
&=&x\\\\
∴\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{1}{ \frac{dx}{dy}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x}\end{eqnarray}

となります。

対数関数の微分|(\(\log_a x)’\)

\(\log_a x\)の\(a\)は定数です。
では\(y=\log_a x\)を微分していきましょう!


\begin{eqnarray}
y = \log_a x &\Leftrightarrow& x=a^y\ より\\\\
\displaystyle \frac{dx}{dy} &=& a^y \log a\\
&=&x \log a\\\\
∴\ \displaystyle \frac{dy}{dx} &=&\displaystyle \frac{1}{ \frac{dx}{dy}}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{x \log a}\end{eqnarray}]

となります。

計算途中にある\((a^y)’=x \log a\)の微分は下記の記事をご参照ください!

>>\((a^y)’=x \log a\)のやり方<<

今回は以上です!

Translate »
タイトルとURLをコピーしました