【積分】x logxを部分積分法で積分するやり方【工学博士監修】

今回は\(x\log x\)を積分する方法の解説です。
部分積分法を使って、下記の積分を解説していきます。

$$\displaystyle\int x\log x dx=\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \log x -\displaystyle \frac{1}{4}x^2$$

トムソン
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※読みやすさの関係上、積分定数の\(C\)は省略して解説します。

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部分積分法|不定積分

不定積分の部分積分法は下記の通りです。

不定積分の部分積分法

\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx \\
&=&F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}

部分積分の証明など、詳しい解説は下記をご参照ください。

>部分積分法の解説<


それでは\(\displaystyle\int x\log x dx\)に部分積分法を適用して計算してみましょう。

x logxを積分する|部分積分法

\(f(x)\)と\(g(x)\)についてまとめると、下記の通りになります。

\(f(x)=x,\ F(x)=\displaystyle \frac{1}{2}x^2\)
\(g(x)=\log x,\ g'(x)=\displaystyle \frac{1}{x}\)

部分積分法に代入すると下記の通りに計算できます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x) dx\\\\
\displaystyle\int x \log x dx&=&\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \log x-\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{2}x^2 \displaystyle \frac{1}{x} dx\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \log x-\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int x dx\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \log x-\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \displaystyle \frac{1}{2}x^2\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \log x -\displaystyle \frac{1}{4}x^2
\end{eqnarray}


ちなみに\(\displaystyle\int f(x)g(x)dx =F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\)を使用はオススメしていません。

理由は\(\displaystyle\int \log x dx\)を計算する必要があるからです。
\(\displaystyle\int \log x dx=x\log x-x\)と積分の答えが複雑です。
さらに、\(\log x\)の積分には部分積分法を使う必要があり、部分積分法で計算した答えを部分積分法で使うという、はん雑な計算が必要なため、\(\log x\)を微分した方が簡単に\(x \log x\)の答えを導けます。

今回は以上です!

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