【積分】部分積分法の証明|不定積分・定積分の両方の場合を解説

今回は部分積分法の証明です。
部分積分は不定積分の場合と定積分の場合の2パターンあるので、両方とも解説します。

部分積分法|不定積分

\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx \\
&=&F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}


部分積分法|定積分

\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)dx &=& \left[f(x)G(x)\right]_a^b-\displaystyle\int_a^b f'(x)G(x) dx \\
&=& \left[F(x)g(x)\right]_a^b-\displaystyle\int_a^b F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}

では証明していきましょう。
まずは不定積分からです。

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部分積分法|不定積分の場合の証明

\(\displaystyle\int g(x)=G(x)\)とおくと、積の微分法の公式より、

\begin{eqnarray}
\{f(x)G(x)\}’&=&f'(x)G(x)+f(x)G'(x)\\
&=& f'(x)G(x)+f(x)g(x) \\\\
∴ f(x)g(x)&=&\{f(x)G(x)\}’-f'(x)G(x)\cdots(1)
\end{eqnarray}

\((1)\)の両辺を\(x\)について積分すると、下記の式を得られる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x) dx&=&\displaystyle\int\{f(x)G(x)\}’ dx-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx\\
&=&f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx\end{eqnarray}

また、\(\displaystyle\int f(x)dx=F(x)\)を用いた場合も同様の式を得られる。
上記の式を用いて不定積分を求める方法を部分積分法という。

部分積分法|不定積分

\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int f(x)g(x)dx &=& f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x) dx \\
&=&F(x)g(x)-\displaystyle\int F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}


では、定積分の部分積分法も証明していきましょう。

部分積分法|定積分の場合の証明

\(f(x),\ g(x),\ f'(x),\ g'(x)\)は区間\(\[a,\ b\]\)で連続であるとし、
\(\displaystyle\int g(x)=G(x)\)とおくと、積の微分法の公式より、

\begin{eqnarray}
\{f(x)G(x)\}’&=&f'(x)G(x)+f(x)G'(x)\\
&=& f'(x)G(x)+f(x)g(x) \\\\
∴ f(x)g(x)&=&\{f(x)G(x)\}’-f'(x)G(x)\cdots(1)
\end{eqnarray}

\((1)\)の両辺を\(a\)から\(b\)まで\(x\)について積分すると、下記の式を得られる。

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_a^b f(x)g(x) dx&=&\displaystyle\int_a^b\{f(x)G(x)\}’ dx-\displaystyle\int_a^b f'(x)G(x) dx\\
&=&\[f(x)G(x)\]_a^b-\displaystyle\int_a^b f'(x)G(x) dx\end{eqnarray}

また、\(\displaystyle\int f(x)dx=F(x)\)を用いた場合も同様の式を得られる。

部分積分法|定積分

\(\displaystyle\int f(x) dx=F(x),\ \displaystyle\int g(x)dx=G(x)\)とおくと、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)dx &=& \left[f(x)G(x)\right]_a^b-\displaystyle\int_a^b f'(x)G(x) dx \\
&=& \left[F(x)g(x)\right]_a^b-\displaystyle\int_a^b F(x)g'(x)dx\end{eqnarray}

部分積分で計算する積分|随時更新中

最後に部分積分で計算する積分をまとめておきます。
部分積分を練習する問題に使ってください。

不定積分

\(\displaystyle\int x\sin x dx=-x\cos x+\sin x\)
>>詳しい解説<<

\(\displaystyle\int x\log x dx=\displaystyle \frac{1}{2}x^2 \log x -\displaystyle \frac{1}{4}x^2\)
>>詳しい解説<<

\(\displaystyle\int xe^x dx=xe^x-x\)
>>詳しい解説<<

\(\displaystyle\int x\cos 2x dx=\displaystyle \frac{1}{4}(\cos 2x+2x\sin 2x)\)
>>詳しい解説<<

定積分

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