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三角関数表のコサインの表におけるcos158°|マクローリン展開で解く

このページでは、cos 158° = -0.927184…を計算する方法について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に着目して、値の計算の仕方を明らかにしていきます。

コサインの表とは下のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
このページでは、cos158°の算出方法紹介です。

$$\cos 158°=-0.927184…$$

目次

cos 158° を10桁表す

最初に、cos 158°を10桁確認してみましょう!$$\cos 158° = -0.9271838546 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos158°の値を解く

三角関数表を使用せずにcos158°の値を求めるやり方は比較的に簡単に求められるものが3つあります。

  1. 分度器を使用して158°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を活用して計算する
  3. マクローリン展開を使って解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、途中の計算が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。

マクローリン展開でcos158°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 158°$$

この式を計算すると、
$弧度法=2.75762…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 158°\)を求められます。

$$\cos 158° = -0.927184…$$

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