三角関数表のコサインの表におけるcos68°を解く

今回は、cos 68° = 0.374606…を電卓で計算する方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表について、値の計算の仕方を説明していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度	値	角度	値
cos1°	0.999847	cos2°	0.99939
cos3°	0.998629	cos4°	0.997564
・・・		・・・
cos30°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	cos45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	cos90°	0

教科書などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
この記事では、cos68°の算出方法紹介です。

$$\cos 68°=0.374606…$$

10桁のcos 68°を確認

まずは、cos 68°を10桁調べてみましょう！$$\cos 68° = 0.3746065934 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos68°の値を明らかにする

三角関数表を確認せずにcos68°の値を計算するやり方は大きく3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。

2のやり方だと、途中の計算が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を紹介します。

マクローリン展開でcos68°を求める

マクローリン展開によって、下記の式で\(\cos x\)を計算することができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)によって、\(\cos x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 68°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.186823…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 68°\)を求められます。

$$\cos 68° = 0.374606…$$