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三角関数表のコサインの表におけるcos73°|マクローリン展開で解く

本解説では、cos 73° = 0.292371…を算出する処理方法について解説していきます。

三角関数表の中のコサイン(cos)の表に焦点を絞って、値の算出方法を解説していきます。

コサインの表とは下記のような表のことです。

角度角度
cos1°0.999847cos2°0.99939
cos3°0.998629cos4°0.997564
・・・・・・
cos30°$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$cos45°$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
cos60°$\displaystyle \frac{1}{2}$cos90°0

数学の解説などの最後にある三角関数表(コサイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
今回は、cos73°の計算の仕方説明です。

$$\cos 73°=0.292371…$$

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10桁のcos 73°を表す

早速ですが、cos 73°を10桁調べてみましょう!$$\cos 73° = 0.2923717047 \cdots$$となります。
コサインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

cos73°の値を解く

三角関数表を確認せずにcos73°の値を算出するやり方は大きく3つあります。

  1. 分度器を活用して73°を持つ直角三角形を紙で作る
  2. 半角の公式倍角の公式を使って計算する
  3. マクローリン展開に値を代入して解く

1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の手法だと、途中の計算が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。

マクローリン展開でcos73°を求める

マクローリン展開から、下記の式で\(\cos x\)を求めることができます。

$$\cos x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\cos x\)の\(x\)を代入すると\(\cos x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開って何?って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 73°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.27409…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\cos 73°\)を求められます。

$$\cos 73° = 0.292371…$$

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