三角関数表のタンジェントの表におけるtan109°|マクローリン展開で解く

このページでは、tan 109° = -2.904211…を三角関数表を使わずに求める仕方について解説していきます。

θ 30° 45° 60° 90°
y 0 \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) 1 \(\sqrt{3}\)

この表のように$0°,\ 30°,\ 45°,\ 60°,\ 90°$は有名なため、値は求まります。
一方で、 θ=1°だと求めるのが非常に大変です

そのため、tan 109° = -2.904211…を計算する方法を説明します。

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tan 109° を10桁確認

早速ですが、tan 109°を10桁表してみましょう!$$\tan 109° = -2.9042108777\cdots$$となります。
タンジェントの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

tan 109° = -2.904211…を解く

tan 109° = -2.904211…を求めるためにマクローリン展開を利用します。

\begin{eqnarray}
\sin x &=&x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\
\cos x &=& 1-\displaystyle \frac{x^2}{2!}+\displaystyle \frac{x^4}{4!}-\displaystyle \frac{x^6}{6!}\cdots\\
\end{eqnarray}

$x$に弧度法の角度を入れるとサインとコサインの値が求まります。

$$x = \displaystyle \frac{\pi}{180}\times 109°=1.902408…$$ $$\sin 109° = 0.945518…$$
$$\cos 109° = -0.325569…$$

この2つの値を使うことで、$\tan 109° = \displaystyle \frac{\sin 109°}{\cos 109°}$からtanを解くことができます。

$$\tan 109° = -2.904211…$$

120秒の復習動画|tan 109°

今回説明した内容を120秒で振り返ることができる動画を準備しました。よかったら、参考にしてください!

(誠意作成中)

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