【中2数学】連立方程式の加減法|解き方をわかりやすく解説

今回は連立方程式を解くための方法である加減法の解説です

加減法で、中学校で習う連立方程式はほぼ全て解けます。
ぜひ最後まで読んで理解していきましょう!!

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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>>代入法の解説はこちら<<

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加減法と代入法

まずは代表的な解法の2つである「加減法」と「代入法」の違いを「なんとなーく」知っておきましょう。

加減法とは

加減法とは、連立方程式を構成する2つの式を足したり引いたりして、文字の数を減らすことで計算する手法です。

2つの式で2つの答え(\(x,\ y\)など)を求める連立方程式ならではの解法ですよね。

代入法とは

連立方程式の解法として、代入法というやり方も存在します!

一般的な解き方は加減法ですが、問題や人によっては代入法の方が得意という声も聞きますね。
どちらか1つを使えれば答えは求められるので問題はないでしょう!


では、2問例題を用意していますので加減法を使って解いてみましょう。
理解するには実践あるのみ!!

加減法の例題1

問題

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
2x + \ y &= 10 \cdots(1)\\
2x + 3y &= 18 \cdots(2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

解き方|ヒント

解説に行く前に解き方、ヒントを出します。
こんな流れで解くんだよ〜っていうガイドみたいなイメージですね。

  1. \((1)-(2)\)を計算します
  2. すると\(2x-2x=0\)で\(x\)の項が消えそうですね
  3. 残る式は\(◯y=▲▲\)になります
  4. \(◯y=▲▲\)は方程式なので\(y\)の値が求まりそうです!
  5. 求まった\(y\)を\((1)\)か\((2)\)に代入すると\(x\)が出ます

よって答えは、

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = 〇〇\\
y = ■■
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

になります!

解説

では解説に移りましょう!
先に答えを言うと

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = 3\\
y = 4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

です。解けましたか?
途中式を含めて解説しますね。

\begin{array}{rr}
2x+\ y&=&10\\
-\big{)}2x+3y&=&18\\
\hline
-2y&=&-8\\
y&=&4
\end{array}

ここまでで\(y=4\)がわかります。
あとはこの\(y=4\)を\((1),\ (2)\)のどちらかに代入して、方程式を解いて\(x\)を求めます。
どちらでもOKですが、\((1)\)式の方が計算が簡単そうなので、こちらに入れてみましょう。

\begin{eqnarray} 2x+y &=& 10 \\ 2x+4&=& 10\\2x&=&10-4\\2x&=&6\\x&=&3 \end{eqnarray}

以上より、\(x=3,\ y=4\)となりました。
ちなみに\(y=4\)を\((2)\)式に代入してみましょう。

\begin{eqnarray} 2x+3y &=& 18 \\ 2x+3\times4&=& 18\\2x&=&18-12\\2x&=&6\\x&=&3 \end{eqnarray}

どちらに代入しても答えは同じ

加減法の例題2|係数がそろっていない

問題

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x + 3y &= 15 \cdots(1)\\
5x – 2y &= 18 \cdots(2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

解き方|ヒント

基本的な解き方は同じですが、今回は\(x\)の係数は\(3\)と\(5\)。
\(y\)の係数は\(3\)と\(-2\)のため、そのまま\((1)-(2)\)をしても文字が消えません。

そこで、係数を同じにするために\((1)×2\)と\((2)×3\)をして\(y\)の係数を同じにしてあげます。
あとは1問目と同様に下記のステップで計算すればOKです。

  1. \((1)-(2)\)を計算します
  2. すると\(2x-2x=0\)で\(x\)の項が消えそうですね
  3. 残る式は\(◯y=▲▲\)になります
  4. \(◯y=▲▲\)は方程式なので\(y\)の値が求まりそうです!
  5. 求まった\(y\)を\((1)\)か\((2)\)に代入すると\(x\)が出ます

解説

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = 4\\
y = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

答えはこれです。解けましたか?
途中式を含めて解説しますね。

\((1)×2\)と\((2)×3\)を計算します。

\((1)×2\rightarrow 6x+6y=30\cdots(1)’\)
\((2)×3\rightarrow 15x-6y=54\cdots(2)’\)

式を数倍するときは、両辺を数倍することを忘れないようにしましょう!

\begin{array}{rr}
\ 6x+6y&=&30\\
+\big{)}15x-6y&=&54\\
\hline
21x&=&84\\
x&=&4
\end{array}

ここまでで\(x=4\)がわかります。
あとは\(x=4\)を\((1),\ (2)\)のどちらかに代入して、方程式を解いて\(y\)を求めます。
どちらでもOKですが、\((1)\)式の方が計算が簡単そうなので、こちらに入れてみましょう。

\begin{eqnarray} 3x+3y &=& 15 \\ 3\times4+3y&=& 15\\3y&=&15-12\\3y&=&3\\y&=&1 \end{eqnarray}

まとめ

連立方程式の解法の1つである加減法を解説してきました!

まずは\(x\)か\(y\)を計算で消して、単純な方程式にします。
次に、残った\(x\)もしくは\(y\)を方程式で求める。
最後に求めた値を代入して、もう片方の値を求めます!

問題に応じて加減法と代入法を使い分けて解きましょう!
>>代入法の解説はこちら<<

今回は以上です!

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