【中2数学】連立方程式の代入法|解き方をわかりやすく解説

今回は連立方程式を解くための方法である代入法の解説です

普通は加減法で解きますが、特殊な場合は代入法が簡単に解けます。

試験では、「代入法で解きなさい」と指定される場合もあります。
ぜひ最後まで読んで理解していきましょう!!

九州大学 工学博士で物理学者のトムソンが解説します!
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連立方程式の代入法とは

連立方程式には加減法と代入法という2つの解き方があります。
今回は、代入法についてご紹介します

名前の通り、連立方程式の片方の式をもう片方の式に代入することで、1つの文字を消して解く手法です。
今回紹介する代入法は連立方程式の2つの式のうち、片方でも「x=」「y=」という形がある時に有効です。

代入法と加減法の違い

連立方程式の解き方で有名なのは加減法です。
加減法と代入法の違いを下の画像でサクッと理解しておきましょう。

連立方程式の代入法と加減法の違い

それでは代入法の具体的な解き方を3ステップにわけて解説していきます!

代入法の具体的な解き方3ステップ

具体的な3ステップ下記の通りです。

代入法の解き方3ステップ
  1. 式をy=の形にする
  2. ステップ1で作った式をyに代入してxを求める
  3. xを代入してyを求める

以下の例題をもとに解説していきます。

代入法で解く連立方程式の例題

【問題】

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x-2y &= 2 \cdots(1)\\
x-y &= -2 \cdots(2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

ステップ1|式をy=の形にする

まず、連立方程式の2つの式のうち、片方でも「y=」の形になっていなければ、片方を「y=」の形にします。
どちらか片方でも「y=」の形になっていればそれを利用します。
問題によっては「x=」にしたほうが簡単な時もあります。

今回の例題では\((2)\)の式を「y=」に直します。
\((1)\)の式だと分数が出てくるため、②のほうが簡単という理由です。

\begin{eqnarray}
x-y&=&-2\cdots(2)\\
y&=&x+2\cdots(2)’
\end{eqnarray}

ステップ2|1で作った式をyに代入してxを求める

ステップ1で作成した「y=」の式を、もう片方の式に代入します。
この際に、カッコを付けて代入するとミスが防げます。

「y=」を代入することによって、xのみの一次方程式になります。
すると中学1年生で習った方程式の知識でxを求めることができます。

①に\(y=x+2\cdots(2)’\)を代入すると

\begin{eqnarray}
3x-2y&=&2\cdot(1)
3x-2(x+2)&=&2\\
3x-2x-4&=&2\\
3x-2x&=&2+4\\
x&=&6\\
\end{eqnarray}

例題では、2-1で求めた式を①に代入します。
ちょっとしたコツですが、代入のときにカッコを付けて計算するとミスが防げますよ。

ステップ3|xを代入してyを求める

最後にステップ2で求めたxの値を、連立方程式の\((1),\ (2)\)式のどちらかに代入して、yの解を求めます。
これは連立方程式の2つの式のうち、どちらに代入してもかまいません。
ステップ2で求めたxの値を\((2)\)に代入してみましょう。

\begin{eqnarray}
6-y&=&-2\\
-y&=&-2-6\\
-y&=&-8\\
y&=&8
\end{eqnarray}

よって、答えは

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = 6\\
y = 8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

となります。

ちなみに、この解を問題の連立方程式に代入することによって、答えの確認ができます。

代入法の問題3問

問題1|yをそのまま代入

代入法で解く連立方程式の問題|y=の形があるとき

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y &= 2x+1 \cdots(1)\\
3x-2y &= -5 \cdots(2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

解答と解説1

【答え】

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = 3\\
y = 7
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

【解説】

問題の\((1)\)を\((2)\)に代入します。

\begin{eqnarray}
3x-2(2x+1)&=&-5\\
3x-4x-2&=&-5\\
3x-4x&=&-5+2\\
-x&=&-3\\
x&=&3
\end{eqnarray}

\(x=3\)を\((1)\)に代入する。

\begin{eqnarray}
y&=&2\times3+1\\
y&=&7
\end{eqnarray}

問題2|「y=」にして代入する

代入法で解く連立方程式の問題|y=の形を作る場合

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
4x+y&=3 \cdots(1)\\
7x+5y=-11 \cdots(2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

解答と解説2

【答え】

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2\\
y = -5
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

【解説】

問題の\((1)\)を「y=」の形にします。

\(y=3-4x\cdots(1)’\)

\((1)’\)を\((2)\)に代入します。

\begin{eqnarray}
7x+5(3-4x)&=&-11\\
7x+15-20x&=&-11\\
7x-20x&=&-15-11\\
-13x&=&-26\\
x&=&2
\end{eqnarray}

\(x=2\)を\((1)\)に代入する。

\begin{eqnarray}
4\times2+y&=&3\\
8+y&=&3\\
y&=&3-8\\
y&=&-5
\end{eqnarray}

問題3|「x=」にして代入

代入法で解く連立方程式の問題|x=の形を代入する

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
3x-2y &= 4 \cdots(1)\\
x+3y &= 5 \cdots(2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

解答と解説2

【答え】

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}

【解説】

問題の\((2)\)を「x=」の形にします。

\(x=5-3y\cdots(2)’\)

\((2)’\)を\((1)\)に代入します。

\begin{eqnarray}
3(5-3y)x-2y&=&4\\
15-9y-2y&=&4\\
-9y-2y&=&4-15\\
-11y&=&-11\\
y&=&1
\end{eqnarray}

\(y=1\)を\((2)\)に代入する。

\begin{eqnarray}
x+3\times1&=&5\\
x+3&=&5\\
x&=&5-3\\
x&=&2
\end{eqnarray}

まとめ|連立方程式の代入法

今回は、連立方程式の代入法をご紹介しました。
解き方や計算ミスを防ぐ方法、答えのチェックの仕方をしっかり覚えましょう!

加減法と代入法を問題に応じて使いわけるようにすると、効率よく計算ができますよ。

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