【等差数列】一般項や等差数列の和の証明【簡単な解説】

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ここでは等差数列について簡単に説明した後に、等差数列の一般項について解説していきます。等差数列の和の証明も解説していますよ。

トムくん
トムくん

等差数列って聞きなれないなあ。難しそう・・・

くりまろ
くりまろ

結構単純だし簡単だから、ちゃちゃっとやっちゃおう!

 

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等差数列とは

等差数列とは、一定の差を保っている数列のことです。
例えば、2, 6, 10, 14, 18なんかも等差数列です。
初項の2から順に4ずつ増えていることが分かりますね。

くりまろ
くりまろ

ある数aから順に一定の数dを加えて得られる数列を等差数列って言うよ

トムくん
トムくん

なんか難しい説明だなあ・・・

くりまろ
くりまろ

上の数列で言えばある数aは2で、一定の数dは4ってことだよ。

トムくん
トムくん

あー、なるほど。

前の数に4を足していってるってことね。
2、6(2+4)、10(6+4)、14(10+4)、18(14+4)
ってことか!

くりまろ
くりまろ

そう!文字を使って表すと
a、a+d、a+2d、a+4d、

a+6d・・・
ってなるよ。

ここでaを初項、dを公差と呼びます。

等差数列の一般項

では、等差数列の一般項を考えてみましょう。

トムくん
トムくん

一般項ってなんだっけ

くりまろ
くりまろ

一般項はn番目の項(第n項)をnを使った式で表したものだよ。

トムくん
トムくん

よく分からんが、n番目の項ってことで良さそうだ。

初項aに公差dが次々と足されていくので、一般項は以下のようになります。

初項a、公差dの等差数列の一般項
$$a_n=a+(n-1)d$$

さっきの例で見てみると、初項a=2、公差d=4だから一般項は
$$a_n=2+4(n-1)$$
となります。

くりまろ
くりまろ

この式に証明は特にないけど、初項aに公差dがどんどん足されていくからこの式になるよ。

トムくん
トムくん

なんとなく分かった。けど第n項なら\(a+nd\)になりそうな気がするけど・・・

n-1になってるのはなんで??

くりまろ
くりまろ

初項の分を引いているんだよ。初項がa、第二項はa+d、第三項はa+2dでしょ。
ってことで第n項はn-1になるよ。

トムくん
トムくん

あ!そうか。初項には公差を足さないもんね。

一般項が分かったところで等差数列の和について考えてみましょう。

等差数列の和

トムくん
トムくん

等差数列の和?

くりまろ
くりまろ

そう。例えば2、6、10、14、18・・・
っていうさっきの数列があるよね。これを足していくことを数列の和って言うよ。

トムくん
トムくん

!?

数列ってずーっと続くよね?どこからどこまで足していくの?

くりまろ
くりまろ

それは問題によって違うけど、初項から第n項までの和を求めることが多いよ。

トムくん
トムくん

第n項・・・どうやるんだ・・・

 

等差数列の和の公式を見てみましょう。この式があれば、どんな等差数列でも和を求めることができますよ!

等差数列の和
初項a、公差dの等差数列の初項から第n項までの和\(S_n\)を求めよ。
答え
$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2a+(n-1)d}{2}$$
となります。

くりまろ
くりまろ

等差数列の和の証明を知りたい人は、こちらも要チェック!

【数列】等差数列の和の証明【簡単です】

今回は以上となります!

くりまろ
くりまろ

公式は今の段階では暗記しなくていいからね!
必要な時に引き出せるように準備しておくだけでOK!

トムくん
トムくん

はーい!

トムくん
トムくん

覚える気ないから助かった 笑

等差数列が分かったら、次は等比数列に挑戦しよう!

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