対数関数とは何か?|【対数】の意味から理系博士がしっかり解説

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ここでは、まず【対数】の意味を説明します。そのあとに対数の性質や対数関数、対数関数のグラフを解説することで、理解を深めてもらえたらと考えています。

 

そもそも関数って何??

という質問には別のページでしっかり解説しています。5分-10分程度で読み終わるので、一度目を通してみてはいかがでしょうか。

そもそも【関数】・【グラフ】とは何か|これで数学は怖くなくなる!

 

理系の博士
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では、【対数】の意味から説明していきますね。

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対数とは|その意味

簡単に言うと、対数は指数の逆を表しています。

【例】\(2^3=8 \leftrightarrow  \log_28=3\)

左側を指数、右側を対数と呼びます。指数は「2を3乗すると何でしょうか?」という問題です。

それに対して対数は2を何乗すると8になるでしょう。と聞いています。

練習問題を用意しました。時間があったらやってみてね!

練習問題3問

\(\log_327=\)
…\(3\)を何乗したら\(27\)かな?

\(\log_5125=\)
…\(5\)を何乗したら\(125\)かな?

\(\log_{10}1000=\)
…\(10\)を何乗したら\(1000\)かな?

全部\(3\)です!

この対数と指数の関係を文字で表すと対数とは何かの答え定義】になります!

対数の定義\(m=\log_aN \leftrightarrow a^m=N\)
ただし、\(a>0, a\neq1, N>0\)
理系の博士
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「ただし、」と3つの条件が付いてますね。
1つずつ解説します!

\(a>0\):aがマイナスだと成り立たない

【例】\(\log_{-2}8=??\)
これだと\(2^{-3}=-8\)なので、どうやっても8になりませんよね!負の数だとダメなケースがあるため禁止されています。

\(a\neq1\):1を何乗しても1

【例】\(\log_19\)
たとえ1を1000乗しても1にしかなりませんね。

\(N>0\):Nがマイナスだと成り立たない

【例】\(\log_3{-27}\)
3を何乗しても負の数にはなりません。

 

といった理由で3つの条件が付いています。難しく感じるかもしれませんが、「こういうもの!」と一度、無理矢理飲み込んで先に進みましょう!

すぐ慣れますよ。

 

ここで、1つだけ用語を紹介しておきます!

対数の底$$m=\log_aN \leftrightarrow a^m=N$$

このaを対数のと言います。

理系の博士
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底は今後出てくるので頭に入れておいてくださいね!

この対数を関数にすると対数関数になるのですが、その前に対数の性質を知っておきましょう!

対数の性質6個

対数の性質は6個あります!6個と言うと多く感じますが、全部すごく簡単です。

【性質】と【公式】ってどう違うの?って質問がたまにありますが、【性質】は超簡単な公式ってイメージでいいと思います。

 

では、6つの性質を見ていきましょう~

対数の性質(1)-対数自体の性質3つ

 

対数の性質(1)

\(a>0, a\neq1, N>0\)のとき

  1. \(\log_a1=0\)
  2. \(\log_aa=1\)
  3. \(a^{\log_aN}=N\)
理系の博士
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では、1つずつ説明しますね!

 

①\(\log_a1=0\)

\(\log_a1\)は「aを何乗したら1になりますか?」って聞いてます。\(a\)には色んな数字が入ります。

でも、\(a\)が何であろうと、\(a^0=1\)ですよね。なので、\(\log_a1=0\)です。

【例】\(\log_71=0 \leftrightarrow 7^0=1\)

 

②\(\log_aa=1\)

\(\log_aa\)は「aを何乗したらaになりますか?」って意味です。そりゃあ1乗でしょ!って声が聞こえてきそうですが、その通りです!笑

 

【例】\(\log_77=1 \leftrightarrow 7^1=7\)

 

③\(a^{\log_aN}=N\)

これが少しややこしいかもですが、パズルみたいなもんです。笑

\(a^{\log_aN}=N\)は「aを\(\log_aN\)乗したらになりますか?」って意味です。ここで、\(\log_aN\)は「aを何乗したら\(N\)になりますか?」って意味です。

つまり、aを\(\log_aN\)乗したらNですね!

 

例えば、\(\log_aN=m\)として指数で表すと、

$$\log_aN=m \leftrightarrow a^m=N$$

となります。少しは掴めましたか?

【例】\(2^{\log_28}=8 \rightarrow \log_28=3\)

対数の性質(2)-対数の計算の性質3つ

前半の3つを攻略しましたね!では後半の3つに移りましょうー

 

対数の性質(2)

  1. \(\log_aMN=\log_aM+\log_aN\)
  2. \(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)
  3. \(\log_aM^p=p\log_aM\)

なんとなく、掛け算が足し算に、割り算が引き算になるイメージです。では1つずつ解説します。

さっきよりは少し難しいので、いきなり【例】からいきますね。

 

①\(\log_aMN=\log_aM+\log_aN\)

【例】\(\begin{eqnarray} \log_{10}1000&=&\log_{10}(10\times100)\\
&=&\log_{10}10+\log_{10}100\\
&=&1+2=3
\end{eqnarray}\)

\(1000\)は\(10^3\)なので答えは合ってますよね!

\(\log\)の中身は掛け算を分解して足し算にできるってことを、一旦頭に入れておくと良いでしょう!

 

②\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)

【例】\(\begin{eqnarray} \log_{10}\frac{1000}{10}&=&\log_{10}1000-\log_{10}100\\
&=&3-1=2
\end{eqnarray}\)

こんなのいつ使うの?と思うかもしれませんが、使います!(断言)

ここでもさっきと同様に「\(\log\)の中の割り算は引き算に分解できる」と知っておきましょう!

 

③\(\log_aM^p=p\log_aM\)

6つあった【性質】も最後の1個です!

\(a^{\log_aM}=M\)という性質が対数の性質(1)にあったのを覚えていますか?これを少しいじります。

\(\begin{eqnarray}a^{p\log_aM}&=&(a^{\log_aM})^p\\&=&M^p\end{eqnarray}\)

 

よって、\(\log_aM^p=p\log_aM\)となります。

【例】
\(\log_24^2=\log_216=4\)
\(\log_24^2=2\log_24=2\times2=4\)

 

理系の博士
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6つの対数の性質が終わりましたね!よく頑張りました。いよいよ、【対数関数】に行きますよ!
ここまで【対数】をしっかりやったので、簡単に感じるはずです!

対数関数とは何か

対数関数の解説に入ります。文字通り対数関数です。関数はある入力(x)に対して、何か出力(y)を出す機械のようなものです。

関数のイメージ関数の詳しい解説

対数関数はこの機械の仕組みが違うだけで、中身は同じです!その式がこちら。

対数関数$$y=\log_ax$$

突然これが出てくると困惑すると思いますが、先に対数の意味を理解してるので、何となく分かるんじゃないですか?

この式を、aを底とする対数関数と呼びます。

【例】\(y=\log_2x\cdots2\)を底とする対数関数

 

対数関数は関数なので、入力xに対して出力yが出てきます。

【例】\(y=\log_2x\)

 

(補足)\(2^{-1}=\frac{1}{2}=0.5 \rightarrow \log_2{0.5}=-1\)

これらの点を打って線でつなぐとグラフになります。

 

理系の博士
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では、ここから対数関数のグラフを詳しく見ていきましょう!

対数関数のグラフ

グラフは大きく分けて2種類

対数関数のグラフは大きく2種類に分けられます。
\(y=\log_ax\)で、

\(a>1\)か、\(0>a>1\)かの2つです。

【例】
\(a>1\cdots2, 10\)など
\(0>a>1\cdots0.5, 0.1\)など

つまり、\(a\)が\(1\)より大きいか小さいかです。
実際のグラフはこうなります。

 

ここでは例として\(a=2\)と\(a=\frac{1}{2}\)としました。

理系の博士
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\(x\)が大きくなると、上に行くか下に行くかの違いがありますね。

次に対数関数の性質を知っておきましょう!今回はたったの4つです。

対数関数の性質

対数関数の性質4つ(1)グラフの範囲は\(x>0\)、\(y\)は全体
(2)グラフは、点\((1, 0)\)1と\((a, 1)\)を通る
(3)グラフは、\(y\)軸を漸近線(ぜんきんせん)とする
(4)\(a>1\)なら単調に増加、\(0>a>1\)なら単調に減少する
理系の博士
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1つずつ解説しますね!

(1)\(x\)は\(x>0\)、\(y\)は全体

対数関数では、xはマイナスになりません。なぜなら、計算できないからです。

【例】\(y=\log_2(-4)\)

2を何乗してもマイナスにはなりませんよね!逆に\(y\)はマイナスでもプラスでもOKなので全体です。

(2)グラフは、点\((1, 0)\)1と\((a, 1)\)を通る

$$y=\log_ax$$
で、
\(x=1\)のとき\(y=0\)です。\(y=\log_a1=0\)

 

逆に\(y=\log_aa=1\)ですよね。つまり、\(x=a\)のとき\(y=1\)です。つまり\((1, 0), (a, 1)\)を通ります。

パッと見ややこしいですが、4本のグラフを書いてみました。全てのグラフが\((1, 0)\)を通っていますね。\(a=2, 5, 10, 0.5\)の4本書いたのですが、全て\((a, 1)\)を通ていることも分かりますね!

【例】
\(y=\log_2x\rightarrow(2, 1)\)を通る
\(y=\log_10x\rightarrow(10, 1)\)を通る

 

(3)y軸を漸近線(ぜんきんせん)とする

\(x\)がゼロに近ければ近いほど、\(y\)はゼロに近づく。
が、ゼロにはならない!これが漸近線(ぜんきんせん)です。
\(a>1\)でも\(1>a>0\)でも、漸近線は\(y\)軸になります。

(4)\(a>1\)なら単調に増加、\(0>a>1\)なら単調に減少する。

これはグラフを見れば一目瞭然ですね。
\(x\)が増えれば\(y\)も増えるのか、\(x\)が増えれば\(y\)は減るのかの違いです。

 

理系の博士
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対数関数は以上です!

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