三角関数表のサインの表におけるsin69°の導出

今回は、sin 69° = 0.93358…を算出する方法について明らかにしていきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算方法を紹介していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
今回は、sin69°の求める方法説明です。

$$\sin 69°=0.93358…$$

sin 69°を10桁表す

唐突ではありますが、sin 69°を10桁調べてみましょう！$$\sin 69° = 0.9335804264 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を使用せずにsin69°の値を解く手法は3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。

2のやり方だと、導出過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。

マクローリン展開を使うと下記の式で$\sin x$を算出することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$を代入すると$\sin x$の値を算出することができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 69°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.204277…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 69°$を求められます。

$$\sin 69° = 0.93358…$$