三角関数表のサインの表におけるsin78°の解き方

このページでは、sin 78° = 0.978147…を電卓で計算する仕方について共有します。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に注目して、値の求める方法を説明していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、sin78°の算出方法紹介です。

$$\sin 78°=0.978147…$$

10桁のsin 78°を調べる

最初に、sin 78°を10桁確認してみましょう！$$\sin 78° = 0.9781476007 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を参照せずにsin78°の値を算出するやり方は3つあります。

1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の方法だと、導出がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を解説します。

マクローリン展開を使うと下記の式で$\sin x$を解くことができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$を代入すると$\sin x$の値を明らかにすることができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かれば問題ないですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 78°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.361356…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 78°$を求められます。

$$\sin 78° = 0.978147…$$