このページでは、sin 79° = 0.981627…を三角関数表を使わずに求める仕方について説明します。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の求め方を解説していきます。
サインの表とは下ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、sin79°の計算の仕方解説です。
$$\sin 79°=0.981627…$$
10桁のsin 79°を書いてみる
初めに、sin 79°を10桁表してみましょう！$$\sin 79° = 0.9816271834 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin79°の値を明らかにする
三角関数表を使用せずにsin79°の値を求める方法は3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。
2のやり方だと、導出が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を解説します。
マクローリン展開でsin79°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を聞いたことがなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 79°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.37881…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 79°\)を求められます。
$$\sin 79° = 0.981627…$$
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