このページでは、sin 81° = 0.987688…を算出する処理方法について説明します。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の求める方法を明らかにしていきます。
サインの表とは下記ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって導出したのでしょうか。
この記事では、sin81°の算出方法説明です。
$$\sin 81°=0.987688…$$
10位までsin 81°を確認
早速ですが、sin 81°を10桁調べてみましょう！$$\sin 81° = 0.9876883405 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin81°の値を算出する
三角関数表を参照せずにsin81°の値を解くやり方はとても複雑なものを除けば3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、出てくる値は近似値になります。
2の手法だと、計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を説明します。
マクローリン展開でsin81°を求める
マクローリン展開によって、下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 81°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.413716…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 81°\)を求められます。
$$\sin 81° = 0.987688…$$
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