三角関数表のサインの表におけるsin82°の求め方

この記事では、sin 82° = 0.990268…を三角関数表を使わずに求めるやり方について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に焦点を絞って、値の計算方法を説明していきます。

サインの表とは下ののような表のことです。

教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
今回は、sin82°の計算の仕方説明です。

$$\sin 82°=0.990268…$$

10桁のsin 82°を表す

初めに、sin 82°を10桁調べてみましょう！$$\sin 82° = 0.9902680687 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

三角関数表を参照せずにsin82°の値を算出するやり方は3つあります。

1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、求まる値は近似値になります。

2の方法だと、計算過程が大変複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開によって、下記の式で$\sin x$を明らかにすることができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、$\sin x$の$x$から$\sin x$の値を計算することができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。

ただし注意点として$x$には弧度法を代入する必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 82°$$

この式を計算すると、
$弧度法=1.431169…$となります。

この値をマクローリン展開の$x$に代入すると、$\sin 82°$を求められます。

$$\sin 82° = 0.990268…$$