このページでは、sin 86° = 0.997564…を電卓で計算する処理方法について共有します。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に光を当てて、値の求め方を明らかにしていきます。
サインの表とは下記ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、sin86°の計算方法説明です。
$$\sin 86°=0.997564…$$
sin 86°を10桁表す
早速ですが、sin 86°を10桁調べてみましょう！$$\sin 86° = 0.9975640502 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin86°の値を明らかにする
三角関数表を使わずにsin86°の値を計算するやり方は大きく3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を求められず、求まる値は近似値になります。
2の方法だと、計算がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。
マクローリン展開でsin86°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 86°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.500983…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 86°\)を求められます。
$$\sin 86° = 0.997564…$$
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