この記事では、sin 89° = 0.999847…を三角関数表を使わずに求めるやり方について明らかにしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の算出方法を明らかにしていきます。
サインの表とはこのような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
教科書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
本解説では、sin89°の算出方法解説です。
$$\sin 89°=0.999847…$$
10桁のsin 89°を確認
最初に、sin 89°を10桁表してみましょう！$$\sin 89° = 0.9998476951 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin89°の値を解く
三角関数表を確認せずにsin89°の値を計算する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。
1のやり方は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。
2のやり方だと、計算が非常に複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。
マクローリン展開でsin89°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を代入すると\(\sin x\)の値を算出することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 89°$$
この式を計算すると、
$弧度法=1.553343…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 89°\)を求められます。
$$\sin 89° = 0.999847…$$
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