それでは、sin 170° = 0.173648…を三角関数表を使わずに求める手法について明らかにしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表について、値の求め方を説明していきます。
サインの表とは下ののような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって計算したのでしょうか。
このページでは、sin170°の算出方法説明です。
$$\sin 170°=0.173648…$$
sin 170° を10桁調べる
唐突ではありますが、sin 170°を10桁確認してみましょう！$$\sin 170° = 0.1736481776 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin170°の値を解く
三角関数表を活用せずにsin170°の値を算出する方法は比較的に簡単に求められるものが3つあります。
1の方法は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。
2の方法だと、導出がとっても煩雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う方法を紹介します。
マクローリン展開でsin170°を求める
マクローリン展開から、下記の式で\(\sin x\)を求めることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)が分かれば\(\sin x\)の値を求めることができるのです。
マクローリン展開が何かわからなくても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 170°$$
この式を計算すると、
$弧度法=2.967059…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 170°\)を求められます。
$$\sin 170° = 0.173648…$$
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