それでは、sin 182° = -0.0349…を三角関数表を使わずに求める処理方法について解き明かしていきます。
三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の計算の仕方を明らかにしていきます。
サインの表とはこのような表のことです。
| 角度 | 値 | 角度 | 値 |
|---|---|---|---|
| sin1° | 0.017452 | sin2° | 0.034899 |
| sin3° | 0.052335 | sin4° | 0.069756 |
| ・・・ | ・・・ | ||
| sin30° | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | sin45° | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ |
| sin60° | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | sin90° | 1 |
参考書などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって求めたのでしょうか。
本解説では、sin182°の算出方法解説です。
$$\sin 182°=-0.0349…$$
10桁のsin 182°を確認
まずは、sin 182°を10桁表してみましょう！$$\sin 182° = -0.0348994968 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。
sin182°の値を明らかにする
三角関数表を確認せずにsin182°の値を算出する方法は大きく3つあります。
1の手法は、定規を使うため正確な値を計算できず、答えは近似値になります。
2のやり方だと、計算過程がとても複雑になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。
そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使う手法を説明します。
マクローリン展開でsin182°を求める
マクローリン展開を使うと下記の式で\(\sin x\)を明らかにすることができます。
$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$
簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)によって、\(\sin x\)の値を計算することができるのです。
マクローリン展開を知らなくてもても、式だけ分かればOKですよ。
xには弧度法を使う
ただし注意点として\(x\)には弧度法を使う必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。
$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 182°$$
この式を計算すると、
$弧度法=3.176499…$となります。
この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 182°\)を求められます。
$$\sin 182° = -0.0349…$$
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