三角関数表のサインの表におけるsin221°｜マクローリン展開で解く

このページでは、sin 221° = -0.65606…を計算する処理方法について解説していきます。

三角関数表の中のサイン(sin)の表に着目して、値の求める方法を紹介していきます。

サインの表とは下記ののような表のことです。

角度	値	角度	値
sin1°	0.017452	sin2°	0.034899
sin3°	0.052335	sin4°	0.069756
・・・		・・・
sin30°	$\displaystyle \frac{1}{2}$	sin45°	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$
sin60°	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	sin90°	1

数学の解説などの最後にある三角関数表(サイン表)ですが、どうやって算出したのでしょうか。
このページでは、sin221°の計算方法紹介です。

$$\sin 221°=-0.65606…$$

sin 221°を10桁調べる

唐突ではありますが、sin 221°を10桁表してみましょう！$$\sin 221° = -0.656059029 \cdots$$となります。
サインの表に記載されたこの値を求めていきましょう。

sin221°の値を計算する

三角関数表を確認せずにsin221°の値を算出する方法はとても複雑なものを除けば3つあります。

1のやり方は、定規を使うため正確な値を算出できず、答えは近似値になります。

2の手法だと、計算過程が大変になり、虚数まで出てくるためおすすめできません。

そこで今回は3つ目のマクローリン展開を使うやり方を説明します。

マクローリン展開でsin221°を求める

マクローリン展開より、下記の式で\(\sin x\)を計算することができます。

$$\sin x = x-\displaystyle \frac{x^3}{3!}+\displaystyle \frac{x^5}{5!}-\displaystyle \frac{x^7}{7!}\cdots\\$$

簡単に言うと、\(\sin x\)の\(x\)を使うと\(\sin x\)の値を解くことができるのです。
マクローリン展開って何？って人だったとしても、式だけ分かれば大丈夫ですよ。

xには弧度法を使う

ただし注意点として\(x\)には弧度法を入れる必要があります。
弧度法の角度は下記の式で求めることができます。

$$弧度法=\displaystyle \frac{\pi}{180}\times 221°$$

この式を計算すると、
$弧度法=3.857177…$となります。

この値をマクローリン展開の\(x\)に代入すると、\(\sin 221°\)を求められます。

$$\sin 221° = -0.65606…$$