[数2]常用対数の最高位の求め方を解説【豊富な例題付き】

答え：\(0.6990\)

$$\begin{eqnarray}
\log_{10}5 &=& \log_{10}\frac{10}{2}\\
&=& \log_{10}10-\log_{10}2\\
&=& 1-0.3010\\
&=& 0.6990
\end{eqnarray}$$

$$\log_{10}\frac{10}{2}=\log_{10}10-\log_{10}2$$

この変形は対数の性質を使った変形です！
$$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$$

<対数の性質の詳しい解説>

$$\begin{eqnarray}
\log_25 &=& \frac{\log_{10}5}{\log_{10}2}\\
&=&\frac{0.6990}{0.3010}\\
&=&2.322\\
\end{eqnarray}$$$$\log_25=\frac{\log_{10}5}{\log_{10}2}$$

答え：\(16\)桁

ちなみに\(2^{50}\)は
\(2^{50}=1,125,899,906,842,624\)
です！

\(2^{50}\)の常用対数を取ります。

$$\begin{eqnarray}
\log_{10}2^{50} &=& 50\log_{10}2\\
&=& 50\times0.3010\\
&=& 15.05\\ \end{eqnarray}$$

となります。つまり、\(2^{50}\)は

\(2^{50}=10^{15.05}\)となります。よって答えは\(16\)桁です！

答え：\(5\)桁、最高位\(5\)

\(3^{10}\)の常用対数を取ります！

$$\begin{eqnarray}
\log_{10}3^{10} &=& 10\log_{10}3\\
&=& 10\times 0.4771\\
&=& 4.771\end{eqnarray}$$

つまり、\(3^{10}=10^{4.771}\)ってことです。ここまでで桁数が出ましたね。

これをもう少し分解します。

$$\begin{eqnarray} (3^{10}&=&10^{4.771}\\
&=& 10^4\times10^{0.771}\\
\end{eqnarray}$$

ここで、

\(\log_{10}5=0.6990\)
\(\log_{10}6=0.7782\)

でしたね。つまり,

\(5<10^{0.771}<6\)なので、

最高位は\(5\)となります！