アークサイン(arcsin, sin-1)の基本と微分積分

逆三角関数のアークサインについて解説します。

アークサイン(arcsin)とは

アークサインとは、逆三角関数と呼ばれる関数の1つで、三角形の辺の比から角度を求める関数です。

例えば\(\sin \theta=x\)とすると、
\(\arcsin x=\theta\)の関係になります。

具体例を見てみましょう。

このように、\(\sin\)(サイン)と\(\arcsin\)(アークサイン)は同じ計算を『角度』から見るか、『辺の比』から見るかの違いがあるだけです。

アークサイン(arcsin)のグラフ

アークサインのグラフ（\(y=\sin^{-1} x\)）は上記のような形になります。
グラフの特徴は３つ！

1. 定義域は\(−1≦x≦1\)
2. \(y\)の範囲（主値）は\(-\displaystyle \frac{\pi}{2}≦y≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
3. \(x=\displaystyle \frac{1}{2}\)のとき\(y=\displaystyle \frac{\pi}{6}\)

特徴を1つずつ解説していきます。

アークサインの定義域

アークサインの定義域は下記の通りです。

\begin{eqnarray}
\sin^{-1} x &=& \theta\ ,\ −1≦x≦1\ ,\ -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦\theta≦\displaystyle \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}

アークサインは\(x\)と\(\theta\)に明確な定義域が存在します。

\(\sin \theta\)のグラフを見ると分かる通り、
\(y=\sin \theta\)だと\(−1≦y≦1\)になります。

つまり、\(\sin^{-1} x\)のxの範囲は\(−1≦x≦1\)となります。

アークサイン以外の逆三角関数である、アークコサインとアークタンジェントにも同様に定義域が存在します。

アークサインの\(y\)の範囲（主値）

アークサイン(\(y=\sin^{-1}x\))の\(y\)の範囲は\(x\)の定義域によって決定しています。

\(x\)の定義域は\(−1≦x≦1\) ですから、\(y=\sin^{-1}x\)より\(-\displaystyle \frac{\pi}{2}≦\theta≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\)が\(y\)の範囲となります。

アークサインの微分

アークサインの微分の証明

$$y=sin^{-1}x$$

とすると、これは逆三角関数なので

$$x=\sin y \dots(1)$$

と同じ意味になります。ここで(1)式の両辺をｘで微分します。

$$\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}x &=& \frac{d}{dx}\sin y \\
1 &=& \frac{d}{dy}\sin y\frac{dy}{dx}(合成関数の微分法)\\
1 &=& \cos y \frac{dy}{dx}\\
\frac{dy}{dx}&=&\frac{1}{\cos y} (※ただし\cos y \neq 0)
\end{eqnarray}$$

となります。
しかし、\(\cos y\)には\(y\)が使われているので、\(\cos y\)を変形して\(x\)の関数にします。

\(\cos y\)を変形するために、三角関数の公式を使います。

$$\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}$$

さらに最初に示した通り、

$$y=Sin^{-1}x \leftrightarrow x=\sin y$$

なので、\(\sin y\)に\(x\)を代入します。
以上より、

$$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx}&=& \frac{1}{\cos y} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}\\
&=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{eqnarray}$$

非常に長い微分ですが、『逆関数の微分法』を使うと簡単に微分できます。

アークサインの積分

アークサインの積分の証明

部分積分法より、

\begin{eqnarray}
\displaystyle\int\sin^{-1} xdx &=& \displaystyle\int 1\cdot\sin^{-1} xdx\\
&=& x \sin^{-1} x -\displaystyle\int x\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\cdots(1)\\
\end{eqnarray}

と変形できる。

ここで\(1-x^2=t\)とおくと、
\(-2xdx=dt\leftrightarrow dx=-\displaystyle \frac{dt}{2x}\)となる。
(1)に\(t,\ dx\)を代入すると下記の式を得られる。

\begin{eqnarray}
&=& x \sin^{-1} x- \displaystyle\int x\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left( -\displaystyle \frac{dt}{2x}\right) \\ \\
&=& x \sin^{-1} x+ \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int \displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}dt\\\\
&=& x \sin^{-1} x+\displaystyle \frac{1}{2}\left(2 \sqrt{t}\right)\\
&=&x \sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}
\end{eqnarray}

積分には部分積分法と置換積分法を使っています。

まとめ

アークサインについて解説してきました。

アークサイン(arcsin)について難しいイメージが少しでも薄れたなら幸いです。

参考動画

最後に参考になる動画を紹介しておきます。
本記事とは切り口が少し違うので、理解が深まると思います。