逆三角関数とは何か｜角度θの求め方とグラフと微分積分を解説

逆三角関数とは、三角関数の逆関数のことである。

三角関数は$\sin x$、$\cos x$、$\tan x$の3つで成り立っています。

同様に逆三角関数も3つで成り立っています。

$\arcsin$（アークサイン）
$\arccos$（アークコサイン）
$\arctan$（アークタンジェント）

の3つです。

今回はこの逆三角関数の特徴を解説していきたいと思います。

解説する内容は４つです！

本記事で解説する内容

逆三角関数の計算
逆三角関数のグラフ
逆三角関数の微分
逆三角関数の積分

トムソン

この記事だけで逆三角関数には困らなくなります！全部は理解しなくてもいいので、自分に必要なところだけ読んでみましょう！

逆三角関数の計算｜角度の求め方

まずは逆三角関数の計算です。

「逆三角関数って何だろう？」

に答える章になります。

逆三角関数は三角関数と同様に3種類あります。

$\sin^{-1} x=\theta$
$\cos^{-1} x=\theta$
$\tan^{-1} x=\theta$

冒頭では$\arcsin$（アークサイン）と紹介しました。

計算で使う場合には、$\sin^{-1} x$と書いてアークサインと読むことを覚えておきましょう。

もちろん$\arcsin x$と書いてもいいですが、$\sin^{-1} x$の方が一般的です。

計算例｜角度を求める

計算例をいくつか紹介します。

\begin{eqnarray}
\sin^{-1} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} &=& \displaystyle \frac{\pi}{4} \\ \\
\sin^{-1} \displaystyle1&=& \displaystyle \frac{\pi}{2} \\ \\
\cos^{-1} \displaystyle \frac{1}{2} &=& \displaystyle \frac{\pi}{3} \\ \\
\tan^{-1} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} &=& \displaystyle \frac{\pi}{6} \end{eqnarray}

ピンと来ましたか？

三角関数は『角度』から『比』を計算してますよね？

逆三角関数は文字通り『逆』で、『比』から『角度』を計算します。
　

例えば、

$$\sin^{-1} \displaystyle1= \displaystyle \frac{\pi}{2}$$

だと、$\sin \displaystyle \frac{\pi}{2}=1$と逆の計算をしてるのが分かるはず！

「$\sin x$を計算したら$1$になったけど、このときの角度って何度だろう？」

を計算したのが逆三角関数ってわけ！

逆三角関数の定義

逆三角関数はとっても便利だけど、使い方を間違えると大変なことになります。

そこで定義を知っておきましょう！

\begin{eqnarray}
\sin^{-1} x &=& \theta\ ,\ −1≦x≦1\ ,\ -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦\theta≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\\
\cos^{-1} x &=& \theta\ ,\ −1≦x≦1\ ,\ -\displaystyle 0≦\theta≦ \pi \\
\tan^{-1} x &=& \theta\ ,\ − ∞≦x≦∞\ ,\ -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦\theta≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\
&=& 1 \end{eqnarray}

このように、逆三角関数の$x$と$\theta$には明確な定義域が存在します。

なぜなら$\sin^{-1} 5$なんかは計算できないから！

トムソン

じゃあ次は逆三角関数ってどんな性質（公式）があるのかみていこう！

定義域の必要性がイマイチなら、三角関数のグラフを復習してみよー

【三角関数のグラフ】サイン・コサイン・タンジェントの書き方

今回は三角関数のグラフについて解説していきます。三角関数という名前なのに、波のようなグラフ...

逆三角関数のグラフ

逆三角関数のグラフはもちろん3種類！

$y=\sin^{-1} x$
$y=\cos^{-1} x$
$y=\tan^{-1} x$

1つずつ見ていきましょう。

アークサインのグラフ（$y=\sin^{-1} x$）

アークサインのグラフ（$y=\sin^{-1} x$）の特徴は３つ！

定義域は$−1≦x≦1$
$y$の範囲（主値）は$-\displaystyle \frac{\pi}{2}≦y≦\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$x=\displaystyle \frac{1}{2}$のとき$y=\displaystyle \frac{\pi}{6}$

アークコサインのグラフ（$y=\cos^{-1} x$）

アークコサインのグラフ（$y=\cos^{-1} x$）の特徴３つ

定義域は$−1≦x≦1$
$y$の範囲（主値）は$0≦y≦\pi$
$x=\displaystyle \frac{1}{2}$のとき$y=\displaystyle \frac{\pi}{3}$

アークタンジェントのグラフ（$y=\tan^{-1} x$）

アークタンジェントのグラフ（$y=\tan^{-1} x$）の特徴３つ

定義域は$−∞≦x≦∞$
$y$の範囲（主値）は$-\displaystyle \frac{\pi}{2}≦y≦\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$x=1$のとき$y=\displaystyle \frac{\pi}{4}$

逆三角関数の微分

グラフがわかったところで、逆三角関数を微分してみましょう。

逆三角関数の微分３つ

\begin{eqnarray}
(\sin^{-1}x)’ &=& \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ,\ -1<x<1 \\\\
(\cos^{-1}x)’ &=& -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ,\ -1<x<1\\\\
(\tan^{-1}x)’ &=& \displaystyle \frac{1}{1+x^2}
\end{eqnarray}

微分の証明を書くと記事が長くなったので、別記事にしてます！

リンクを貼るので、必要であれば読んでみましょう！

【微分】三角関数と逆三角関数の微分を途中式有りで解説｜sin, cos, tan｜Sin-1, Cos−1, Tan-1【6種類を網羅】

この記事では、三角関数の微分と詳しい解説逆三角関数の微分と詳しい解説を紹介します。...

逆三角関数の積分

最後は逆三角関数の積分です。

逆三角関数の不定積分３つ

\begin{eqnarray}
\displaystyle \displaystyle\int \sin^{-1} x dx &=& x\sin^{-1} x +\sqrt{1-x^2}+C\\\\
\displaystyle \displaystyle\int \cos^{-1} x dx &=& x\cos^{-1} x -\sqrt{1-x^2}+C \\\\
\displaystyle \displaystyle\int \tan^{-1} x dx &=& x\tan^{-1} x -\displaystyle \frac{\log(1+x^2)}{2}+C
\end{eqnarray}

ただし、Cは積分定数である。

>>arcsin x の積分<<

>>arcos x の積分<<

>>arctan x の積分<<

途中式は上記のリンクからご確認ください！

逆三角関数クイズ！

$\sin^{-1}\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$は？

$\pi$/4

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