逆三角関数とは
三角関数の逆関数のことである。
三角関数は\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(\tan x\)の3つで成り立っています。
同様に逆三角関数も3つで成り立っています。
- \(\arcsin\)（アークサイン）
- \(\arccos\)（アークコサイン）
- \(\arctan\)（アークタンジェント）
の3つです。
今回はこの逆三角関数の特徴を解説していきたいと思います。
解説する内容は４つです！
本記事で解説する内容
- 逆三角関数の計算
- 逆三角関数のグラフ
- 逆三角関数の微分
- 逆三角関数の積分
この記事だけで逆三角関数には困らなくなります！全部は理解しなくてもいいので、自分に必要なところだけ読んでみましょう！
逆三角関数の計算
まずは逆三角関数の計算です。
「逆三角関数って何だろう？」
に答える章になります。
逆三角関数は三角関数と同様に3種類あります。
- \(\sin^{-1} x=\theta\)
- \(\cos^{-1} x=\theta\)
- \(\tan^{-1} x=\theta\)
冒頭では\(\arcsin\)（アークサイン）と紹介しました。
計算で使う場合には、\(\sin^{-1} x\)と書いてアークサインと読むことを覚えておきましょう。
もちろん\(\arcsin x\)と書いてもいいですが、\(\sin^{-1} x\)の方が一般的です。
計算例
計算例をいくつか紹介します。
\begin{eqnarray}
\sin^{-1} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} &=& \displaystyle \frac{\pi}{4} \\ \\
\sin^{-1} \displaystyle1&=& \displaystyle \frac{\pi}{2} \\ \\
\cos^{-1} \displaystyle \frac{1}{2} &=& \displaystyle \frac{\pi}{3} \\ \\
\tan^{-1} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} &=& \displaystyle \frac{\pi}{6} \ \
&=& 1 \end{eqnarray}
ピンと来ましたか？
三角関数は『角度』から『比』を計算してますよね？
逆三角関数は文字通り『逆』で、『比』から『角度』を計算します。
例えば、
$$\sin^{-1} \displaystyle1= \displaystyle \frac{\pi}{2}$$
だと、\(\sin \displaystyle \frac{\pi}{2}=1\)と逆の計算をしてるのが分かるはず！
「\(\sin x\)を計算したら\(1\)になったけど、このときの角度って何度だろう？」
を計算したのが逆三角関数ってわけ！
逆三角関数の定義
逆三角関数はとっても便利だけど、使い方を間違えると大変なことになります。
そこで定義を知っておきましょう！
\begin{eqnarray}
\sin^{-1} x &=& \theta\ ,\ −1≦x≦1\ ,\ -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦\theta≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\\
\cos^{-1} x &=& \theta\ ,\ −1≦x≦1\ ,\ -\displaystyle 0≦\theta≦ \pi \\
\tan^{-1} x &=& \theta\ ,\ − ∞≦x≦∞\ ,\ -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦\theta≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\
&=& 1 \end{eqnarray}
このように、逆三角関数の\(x\)と\(\theta\)には明確な定義域が存在します。
なぜなら\(\sin^{-1} 5\)なんかは計算できないから！
じゃあ次は逆三角関数ってどんな性質（公式）があるのかみていこう！
定義域の必要性がイマイチなら、三角関数のグラフを復習してみよー
逆三角関数のグラフ
逆三角関数のグラフはもちろん3種類！
- \(y=\sin^{-1} x\)
- \(y=\cos^{-1} x\)
- \(y=\tan^{-1} x\)
1つずつ見ていきましょう。
アークサインのグラフ（\(y=\sin^{-1} x\)）
アークサインのグラフ（(y=\sin^{-1} x)）の特徴は３つ！
- 定義域は\(−1≦x≦1\)
- \(y\)の範囲（主値）は\(-\displaystyle \frac{\pi}{2}≦y≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
- \(x=\displaystyle \frac{1}{2}\)のとき\(y=\displaystyle \frac{\pi}{6}\)
アークコサインのグラフ（\(y=\cos^{-1} x\)）
アークコサインのグラフ（\(y=\cos^{-1} x\)）の特徴３つ
- 定義域は\(−1≦x≦1\)
- \(y\)の範囲（主値）は\(0≦y≦\pi\)
- \(x=\displaystyle \frac{1}{2}\)のとき\(y=\displaystyle \frac{\pi}{3}\)
アークタンジェントのグラフ（\(y=\tan^{-1} x\)）
アークタンジェントのグラフ（\(y=\tan^{-1} x\)）の特徴３つ
- 定義域は\(−∞≦x≦∞\)
- \(y\)の範囲（主値）は\(-\displaystyle \frac{\pi}{2}≦y≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
- \(x=1\)のとき\(y=\displaystyle \frac{\pi}{4}\)
逆三角関数の微分
グラフがわかったところで、逆三角関数を微分してみましょう。
逆三角関数の微分３つ
\begin{eqnarray}
(\sin^{-1}))’ &=& \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ,\ -1<x<1 \\\\
(\cos^{-1}))’ &=& -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ,\ -1<x<1\\\\
(\tan^{-1}))’ &=& \displaystyle \frac{1}{1+x^2}
\end{eqnarray}
微分の証明を書くと記事が長くなったので、別記事にしてます！
リンクを貼るので、必要であれば読んでみましょう！
逆三角関数の積分
最後は逆三角関数の積分です。
逆三角関数の不定積分３つ
\begin{eqnarray}
\displaystyle \int \sin^{-1} x dx &=& x\sin^{-1} x +\sqrt{1-x^2}+C\\\\
\displaystyle \int \cos^{-1} x dx &=& x\cos^{-1} x -\sqrt{1-x^2}+C \\\\
\displaystyle \int \tan^{-1} x dx &=& x\tan^{-1} x -\displaystyle \frac{\log(1+x^2)}{2}+C
\end{eqnarray}
ただし、Cは積分定数である。
逆三角関数のまとめ
逆三角関数について解説してきました！
本記事で解説した内容
- 逆三角関数の計算
- 逆三角関数のグラフ
- 逆三角関数の微分
- 逆三角関数の積分
逆三角関数は三角関数の逆関数です。
逆三角関数も三角関数同様に3種類。
- \(\sin^{-1} x=\theta\)
- \(\cos^{-1} x=\theta\)
- \(\tan^{-1} x=\theta\)
それぞれ、アークサイン、アークコサイン、アークタンジェントと読みました
グラフ・微分・積分は三角関数と同様に3種類。
少し難しかったかもしれないけど、逆三角関数の必要な情報は詰め込んであるので、参考にしていただけると幸いです！
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