【逆三角関数とは】θ(角度)の求め方とグラフ、微分積分を解説【工学博士監修】

逆三角関数とは

三角関数の逆関数のことである。

三角関数は\(\sin x\)、\(\cos x\)、\(\tan x\)の3つで成り立っています。

同様に逆三角関数も3つで成り立っています。

  • \(\arcsin\)(アークサイン)
  • \(\arccos\)(アークコサイン)
  • \(\arctan\)(アークタンジェント)

の3つです。

今回はこの逆三角関数の特徴を解説していきたいと思います。

解説する内容は4つです!

本記事で解説する内容

  1. 逆三角関数の計算
  2. 逆三角関数のグラフ
  3. 逆三角関数の微分
  4. 逆三角関数の積分
トムソン
トムソン

この記事だけで逆三角関数には困らなくなります!全部は理解しなくてもいいので、自分に必要なところだけ読んでみましょう!

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逆三角関数の計算|角度の求め方

まずは逆三角関数の計算です。

「逆三角関数って何だろう?」

に答える章になります。

逆三角関数は三角関数と同様に3種類あります。

  1. \(\sin^{-1} x=\theta\)
  2. \(\cos^{-1} x=\theta\)
  3. \(\tan^{-1} x=\theta\)

冒頭では\(\arcsin\)(アークサイン)と紹介しました。

計算で使う場合には、\(\sin^{-1} x\)と書いてアークサインと読むことを覚えておきましょう。

もちろん\(\arcsin x\)と書いてもいいですが、\(\sin^{-1} x\)の方が一般的です。

計算例|角度を求める

計算例をいくつか紹介します。

\begin{eqnarray}
\sin^{-1} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} &=& \displaystyle \frac{\pi}{4} \\ \\
\sin^{-1} \displaystyle1&=& \displaystyle \frac{\pi}{2} \\ \\
\cos^{-1} \displaystyle \frac{1}{2} &=& \displaystyle \frac{\pi}{3} \\ \\
\tan^{-1} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} &=& \displaystyle \frac{\pi}{6} \end{eqnarray}

ピンと来ましたか?

三角関数は『角度』から『比』を計算してますよね?

逆三角関数は文字通り『逆』で、『比』から『角度』を計算します。
 

例えば、

$$\sin^{-1} \displaystyle1= \displaystyle \frac{\pi}{2}$$

だと、\(\sin \displaystyle \frac{\pi}{2}=1\)と逆の計算をしてるのが分かるはず!

「\(\sin x\)を計算したら\(1\)になったけど、このときの角度って何度だろう?」

を計算したのが逆三角関数ってわけ!

逆三角関数の定義

逆三角関数はとっても便利だけど、使い方を間違えると大変なことになります。

そこで定義を知っておきましょう!

\begin{eqnarray}
\sin^{-1} x &=& \theta\ ,\ −1≦x≦1\ ,\ -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦\theta≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\\
\cos^{-1} x &=& \theta\ ,\ −1≦x≦1\ ,\ -\displaystyle 0≦\theta≦ \pi \\
\tan^{-1} x &=& \theta\ ,\ − ∞≦x≦∞\ ,\ -\displaystyle \frac{\pi}{2}≦\theta≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\
&=& 1 \end{eqnarray}

このように、逆三角関数の\(x\)と\(\theta\)には明確な定義域が存在します。

なぜなら\(\sin^{-1} 5\)なんかは計算できないから!

トムソン
トムソン

じゃあ次は逆三角関数ってどんな性質(公式)があるのかみていこう!

定義域の必要性がイマイチなら、三角関数のグラフを復習してみよー

逆三角関数のグラフ

逆三角関数のグラフはもちろん3種類!

  1. \(y=\sin^{-1} x\)
  2. \(y=\cos^{-1} x\)
  3. \(y=\tan^{-1} x\)

1つずつ見ていきましょう。

アークサインのグラフ(\(y=\sin^{-1} x\))

アークサインのグラフ
アークサインのグラフ(\(y=\sin^{-1} x\))

アークサインのグラフ(\(y=\sin^{-1} x\))の特徴は3つ!

  1. 定義域は\(−1≦x≦1\)
  2. \(y\)の範囲(主値)は\(-\displaystyle \frac{\pi}{2}≦y≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
  3. \(x=\displaystyle \frac{1}{2}\)のとき\(y=\displaystyle \frac{\pi}{6}\)

アークコサインのグラフ(\(y=\cos^{-1} x\))

アークコサインのグラフ(\(y=\cos^{-1} x\))
アークコサインのグラフ(\(y=\cos^{-1} x\))

アークコサインのグラフ(\(y=\cos^{-1} x\))の特徴3つ

  1. 定義域は\(−1≦x≦1\)
  2. \(y\)の範囲(主値)は\(0≦y≦\pi\)
  3. \(x=\displaystyle \frac{1}{2}\)のとき\(y=\displaystyle \frac{\pi}{3}\)

アークタンジェントのグラフ(\(y=\tan^{-1} x\))

アークタンジェントのグラフ(\(y=\tan^{-1} x\))

アークタンジェントのグラフ(\(y=\tan^{-1} x\))の特徴3つ

  1. 定義域は\(−∞≦x≦∞\)
  2. \(y\)の範囲(主値)は\(-\displaystyle \frac{\pi}{2}≦y≦\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
  3. \(x=1\)のとき\(y=\displaystyle \frac{\pi}{4}\)

逆三角関数の微分

グラフがわかったところで、逆三角関数を微分してみましょう。

逆三角関数の微分3つ

\begin{eqnarray}
(\sin^{-1}x)’ &=& \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ,\ -1<x<1 \\\\
(\cos^{-1}x)’ &=& -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ,\ -1<x<1\\\\
(\tan^{-1}x)’ &=& \displaystyle \frac{1}{1+x^2}
\end{eqnarray}

微分の証明を書くと記事が長くなったので、別記事にしてます!

リンクを貼るので、必要であれば読んでみましょう!

逆三角関数の積分

最後は逆三角関数の積分です。

逆三角関数の不定積分3つ

\begin{eqnarray}
\displaystyle \displaystyle\int \sin^{-1} x dx &=& x\sin^{-1} x +\sqrt{1-x^2}+C\\\\
\displaystyle \displaystyle\int \cos^{-1} x dx &=& x\cos^{-1} x -\sqrt{1-x^2}+C \\\\
\displaystyle \displaystyle\int \tan^{-1} x dx &=& x\tan^{-1} x -\displaystyle \frac{\log(1+x^2)}{2}+C
\end{eqnarray}

ただし、Cは積分定数である。

>>arcsin x の積分<<

>>arcos x の積分<<

>>arctan x の積分<<

途中式は上記のリンクからご確認ください!

逆三角関数のまとめ

逆三角関数について解説してきました!

本記事で解説した内容

  1. 逆三角関数の計算
  2. 逆三角関数のグラフ
  3. 逆三角関数の微分
  4. 逆三角関数の積分

逆三角関数は三角関数の逆関数です。

逆三角関数も三角関数同様に3種類。

  1. \(\sin^{-1} x=\theta\)
  2. \(\cos^{-1} x=\theta\)
  3. \(\tan^{-1} x=\theta\)

それぞれ、アークサイン、アークコサイン、アークタンジェントと読みました

グラフ・微分・積分は三角関数と同様に3種類。

トムソン
トムソン

少し難しかったかもしれないけど、逆三角関数の必要な情報は詰め込んであるので、参考にしていただけると幸いです!

お気軽にコメントください! 質問でも、なんでもどうぞ!

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