【微分】sinh x(ハイポボリックサイン)|双曲線関数

今回はsinh xを微分する方法を解説します。
具体的には下記の微分を証明していきます!

$$(\sinh x)’=\cosh x$$

記事の前半で\(\sinh x\)の微分を計算して、後半で微分に使った公式などを紹介していきます!

トムソン
トムソン

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双曲線関数の特徴

微分の前に、双曲線関数の基礎知識を知っておきましょう!

双曲線関数の読み方

双曲線関数の読み方は下記の通りです。

\(\sinh x\rightarrow\)ハイパボリックサイン
\(\cosh x\rightarrow\)ハイパボリックコサイン
\(\tanh x\rightarrow\)ハイパボリックタンジェント

\(\sinh x\)をシャインx、\(\cosh x\)をコシュxと呼ぶ人もいますね。

双曲線関数の式

\begin{eqnarray}
\sinh x &=& \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2} \\\\
\cosh x &=& \displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2} \\\\
\tanh x &=& \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\\\
\end{eqnarray}

今回の微分で使うのは\(\sinh x\)と\(\cosh x\)です。

微分|(sinh x)’=cosh x

では微分していきます。


微分の性質より、

\(\{f(x)\pm g(x)\}’=f'(x) \pm g'(x)\)であり、

定数\(k\)に対して\((kf(x))’=k\cdot f'(x)\)である。

また、\((e^x)’=e^x,\ (e^{-x})’=-e^{-x}\)を使うと、下記の通り\(x\)について微分できる。

\begin{eqnarray}
(\sinh x)’ &=& \left( \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)’\\ \\
&=& \displaystyle \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})’\\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}\{(e^x)’-(e^{-x})’\}
&=&\displaystyle \frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\\\\
&=&\cosh x \end{eqnarray}


微分は以上です!

関連記事|ネピア数の微分

今回の微分に関連する解説を紹介して終わりたいと思います!

>>\(e^x\)の微分<<

\(\sinh x\)の微分は以上です!

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