【微分】tanh x(ハイポボリックタンジェント)|双曲線関数

今回はtanh xを微分する方法を解説します。
具体的には下記の微分を証明していきます!

$$(\tanh x)’=\displaystyle \frac{1}{\cosh^2 x}$$

記事の前半で\(\tanh x\)の微分を計算して、後半で微分に使った公式などを紹介していきます!

トムソン
トムソン

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双曲線関数の特徴

微分の前に、双曲線関数の基礎知識を知っておきましょう!

双曲線関数の読み方

双曲線関数の読み方は下記の通りです。

\(\sinh x\rightarrow\)ハイパボリックサイン
\(\cosh x\rightarrow\)ハイパボリックコサイン
\(\tanh x\rightarrow\)ハイパボリックタンジェント

\(\sinh x\)をシャインx、\(\cosh x\)をコシュxと呼ぶ人もいますね。

双曲線関数の式

\begin{eqnarray}
\sinh x &=& \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2} \\\\
\cosh x &=& \displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2} \\\\
\tanh x &=& \displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\\\
\end{eqnarray}

微分|\((tanh x)’=\displaystyle \frac{1}{cosh^2 x}\)

では微分していきます。


\(\tanh x=\displaystyle \frac{\sinh}{\cosh}\)と、

商の微分公式\(\left( \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\displaystyle \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\)(詳細後述)を利用すると、

下記の通り\(x\)について微分できる。

\begin{eqnarray}
(\tanh x)’ &=& \left( \displaystyle \frac{\sinh x}{\cosh x}\right)’\\ \\
&=& \displaystyle \frac{(\sinh x)’\cosh x-\sinh x(\cosh x)’}{\cosh^2 x}\\\\
&=&\displaystyle \frac{\cosh^2 x-\sinh^2 x}{\cosh^2 x}\cdots(1)\\\\
\end{eqnarray}

ここで、

\begin{eqnarray}
\cosh^2 x &=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^x+e^{-x})^2\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}+2e^x e{-x}+e^{-2x})\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}+2+e^{-2x}) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\sinh^2 x &=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^x-e^{-x})^2\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}-2e^x e{-x}+e^{-2x})\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}-2+e^{-2x}) \end{eqnarray}

なので、

\begin{eqnarray}
\cosh^2 x-\sinh^2 x &=& \displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}+2+e^{-2x})-\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}-2+e^{-2x}) \\\\
&=&\displaystyle \frac{1}{4}(e^{2x}-e^{2x}+2+2+e^{-2x}-e^{-2x})\\\\
&=& \displaystyle \frac{1}{4}\cdot4\\\\
&=&1 \end{eqnarray}

となる。
(1)に\(\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\)を代入すると、下記のように微分できる。

\((\tanh x)’ =\displaystyle \frac{1}{\cosh^2 x}\)


微分は以上です!

最後に商の微分公式について解説したいと思います。

解説|商の微分公式

商の微分公式は下記の式で表されます。

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

また、\(\displaystyle \frac{1}{g(x)}\)を微分する場合は、下記の通り整理されます。

$$\left(\frac{1}{g(x)}\right)’=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}$$

上記公式の証明や、使い方の詳しい解説は下記の記事を参考にしてください!
4ステップで使える解説にしています。

>>商の微分公式<<

\(\sinh x\)の微分は以上です!

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